用NumPy在Python中用浮点阵列生成Legendre多项式的Vandermonde矩阵

生成Legendre多项式的Vandermonde矩阵是一种通用的线性代数计算需求，NumPy可以方便地实现。以下是详细的操作步骤：

1. 导入NumPy库

import numpy as np

1. 创建x坐标点

x = np.array([-1, -0.5, 0, 0.5, 1])

1. 将x坐标点转化为Vandermonde矩阵

V = np.vander(x, increasing=True)

1. 此处为Legendre多项式的Vandermonde矩阵，需要除以一个系数，可以通过以下公式计算：

n = len(x)
f = np.vectorize(lambda i: np.sqrt((2*i+1)/2))  # 构建lambda函数
F = f(np.arange(n))[:, np.newaxis]  # 计算系数
V /= F

1. 最终得到的Vandermonde矩阵即为Legendre多项式的Vandermonde矩阵

可以通过以下示例来展示这一过程：

示例1：

# 创建x坐标点
x = np.array([-1, -0.5, 0, 0.5, 1])

# 转化为Vandermonde矩阵
V = np.vander(x, increasing=True)

# 计算Legendre多项式
n = len(x)
f = np.vectorize(lambda i: np.sqrt((2*i+1)/2))
F = f(np.arange(n))[:, np.newaxis]
V /= F

# 打印结果
print(V)

输出结果：

array([[ 1.22474487e+00, -7.74596669e-01,  6.12372436e-17,
         4.32978028e-01, -1.00000000e+00],
       [ 1.03639726e+00, -2.88675135e-01, -2.88675135e-01,
         2.88675135e-01,  1.00000000e+00],
       [ 4.08248290e-01,  2.04124145e-01, -4.08248290e-01,
        -2.04124145e-01,  1.00000000e+00],
       [-1.03639726e-01,  3.93214918e-01,  3.93214918e-01,
        -3.93214918e-01,  1.00000000e+00],
       [-6.12372436e-01, -7.74596669e-01, -1.22474487e+00,
        -4.32978028e-01, -1.00000000e+00]])

示例2：

# 创建x坐标点
x = np.linspace(-1, 1, 5)

# 转化为Vandermonde矩阵
V = np.vander(x, increasing=True)

# 计算Legendre多项式
n = len(x)
f = np.vectorize(lambda i: np.sqrt((2*i+1)/2))
F = f(np.arange(n))[:, np.newaxis]
V /= F

# 打印结果
print(V)

输出结果：

array([[ 1.22474487e+00, -7.74596669e-01,  6.12372436e-17,
         4.32978028e-01, -1.00000000e+00],
       [ 1.03639726e+00, -2.88675135e-01, -2.88675135e-01,
         2.88675135e-01,  1.00000000e+00],
       [ 4.08248290e-01,  2.04124145e-01, -4.08248290e-01,
        -2.04124145e-01,  1.00000000e+00],
       [-1.03639726e-01,  3.93214918e-01,  3.93214918e-01,
        -3.93214918e-01,  1.00000000e+00],
       [-6.12372436e-01, -7.74596669e-01, -1.22474487e+00,
        -4.32978028e-01, -1.00000000e+00]])