定义

卷积是两个变量在某范围内相乘后求和的结果。如果卷积的变量是序列x(n)和h(n),则卷积的结果

其中星号*表示卷积。
当时序n=0时,序列h(-i)是h(i)的时序i取反的结果;时序取反使得h(i)以纵轴为中心翻转180度,所以这种相乘后求和的计算法称为卷积和,简称卷积
另外,n是使h(-i)位移的量,不同的n对应不同的卷积结果。
 
如果卷积的变量是函数x(t)和h(t),则上述卷积(和)的计算变为积分:

其中p是积分变量,积分也是求和,t是使函数h(-p)位移的量,星号*表示卷积。
参考《数字信号处理》杨毅明著,p.55、p.188、p.264,机械工业出版社2012年发行。

图解卷积

  1. 首先将两个函数都用什么是卷积convolution来表示。
  2. 对其中一个函数做水平翻转: 什么是卷积convolution什么是卷积convolution
  3. 加上一个时间偏移量,让 什么是卷积convolution 能沿着 什么是卷积convolution 轴滑动。
  4. t从-∞滑动到+∞。两函数交会时,计算交会范围中两函数乘积的积分值。
    换句话说,我们是在计算一个滑动的的加权平均值。也就是使用什么是卷积convolution当做加权函数,来对什么是卷积convolution取加权平均值。
  最后得到的波形(未包含在此图中)就是fg的卷积。

如果f(t)是一个单位脉冲,我们得到的乘积就是g(t)本身,称为冲激响应

什么是卷积convolution

性质

交换律 结合律 分配律 数乘结合律 其中a为任意实数(或复数)。
微分定理 其中Df表示f微分,如果在离散域中则是指差分算子,包括前向差分与后向差分两种。
 

卷积定理

卷积定理指出,函数卷积的傅里叶变换是函数傅里叶变换的乘积。即,一个域中的卷积相当于另一个域中的乘积,例如时域中的卷积就对应于频域中的乘积。
F(g(x)*f(x)) = F(g(x))F(f(x))
其中F表示的是傅里叶变换
这一定理对拉普拉斯变换双边拉普拉斯变换Z变换Mellin变换和Hartley变换(参见Mellin inversion theorem)等各种傅里叶变换的变体同样成立。
调和分析中还可以推广到在局部紧致阿贝尔群上定义的傅里叶变换。

利用定理可以简化的运算量。

对于长度为n的序列,按照的定义进行计算,需要做2N - 1组对位乘法,其计算复杂度为O(N * N)
而利用傅里叶变换将序列变换到频域上后,只需要一组对位乘法,利用傅里叶变换的快速算法之后,总的计算复杂度为O(N * log N)
这一结果可以在快速乘法计算中得到应用。
 

应用

卷积在工程和数学上都有很多应用:

  • 统计学中,加权的滑动平均是一种卷积。
  • 概率论中,两个统计独立变量X与Y的和的概率密度函数是X与Y的概率密度函数的卷积。
  • 声学中,回声可以用源声与一个反映各种反射效应的函数的卷积表示。
  • 电子工程与信号处理中,任一个线性系统的输出都可以通过将输入信号与系统函数(系统的冲激响应)做卷积获得。
  • 物理学中,任何一个线性系统(符合叠加原理)都存在卷积。

招展

 

卷积是一种线性运算,图像处理中常见的mask运算都是卷积,广泛应用于图像滤波。Kenneth R.Castlman的《数字图像处理》对卷积讲得很详细。
高斯变换就是用高斯函数对图像进行卷积。高斯算子可以直接从离散高斯函数得到:
for(i=0; i<N; i++)
{
    for(j=0; j<N; j++)
   {
      g[i*N+j]=exp(-((i-(N-1)/2)^2+(j-(N-1)/2)^2))/(2*delta^2));
      sum += g[i*N+j];
   }
}
再除以 sum 得到归一化算子 ,N是滤波器的大小,delta自选
首先,在提到卷积之前,必须提到卷积出现的背景。
卷积是在信号与线性系统的基础上或背景中出现的,脱离这个背景单独谈卷积是没有任何意义的,除了那个所谓褶反公式上的数学意义和积分(或求和,离散情况下)。
信号与线性系统,讨论的就是信号经过一个线性系统以后发生的变化(就是输入 输出 和所经过的所谓系统,这三者之间的数学关系)。所谓线性系统的含义,就是,这个所谓的系统,带来的输出信号与输入信号的数学关系式之间是线性的运算关系。
因此,实际上,都是要根据我们需要待处理的信号形式,来设计所谓的系统传递函数,那么这个系统传递函数和输入信号,在数学上的形式就是所谓的卷积关系。
卷积关系最重要的一种情况,就是在信号与线性系统或数字信号处理中的卷积定理。
利用该定理,可以将时间域或空间域中的卷积运算等价为频率域的相乘运算,从而利用FFT等快速算法,实现有效的计算,节省运算代价。
 C++代码
 什么是卷积convolution