直接放结论，反正我也不会证。

\[\sum_{i=0}^k\dbinom{n}{i}\dbinom{m}{k-i}=\dbinom{n+m}{k}
\]

下面有几个推论，可以稍微不那么严谨的证明一下。

首先你要知道的是这个东西：

\[\dbinom{m}{i}=\dbinom{m}{m-i}
\]

感性理解一下就是杨辉三角的对称性，其实直接拆式子也不是什么难事。
下面来看几个推论：

推论一

\[\sum_{i=1}^{n}\dbinom{n}{i}\dbinom{n}{i-1}=\dbinom{2n}{n+1}
\]

关于证明，我们可以把 \(\binom{n}{i-1}\) 转化成为 \(\binom{n}{n-i+1}\) 。
然后原式变成

\[\sum_{i=1}^{n}\dbinom{n}{i}\dbinom{n}{n-i+1}
\]

直接套用公式就可以了。

推论二

\[\sum_{i=0}^n\dbinom{n}{i}^2=\dbinom{2n}{n}
\]

证明的话先把式子的平方拆开，变成这样

\[\sum_{i=0}^n\dbinom{n}{i}\times\dbinom{n}{i}
\]

然后考虑这样的一个转换：

\[\dbinom{n}{i}=\dbinom{n}{n-i}
\]

带入原式可以发现，又变成了范德蒙德卷积的形式

\[\sum_{i=0}^n\dbinom{n}{i}\dbinom{n}{n-i}
\]

推论三

\[\sum_{i=0}^m\dbinom{n}{i}\dbinom{m}{i}=\dbinom{n+m}{m}
\]

证明也很简单，考虑这样的一个转换

\[\dbinom{m}{i}=\dbinom{m}{m-i}
\]

带入以后成为范德蒙德卷积的形式：

\[\sum_{i=0}^m\dbinom{n}{i}\dbinom{m}{m-i}
\]