python八皇后问题的解决方法

让我们来看一下如何解决 Python 中的八皇后问题。

八皇后问题

八皇后问题是指在 8*8 的棋盘上放置 8 个皇后，使得任意两个皇后都不能在同一行、同一列或同一对角线上。这是一个经典的递归问题，通常使用回溯算法来解决。

解决方法

1. 递归回溯算法

递归回溯算法是一种试错的过程，即在解决问题的过程中，不断尝试各种可能的解法，如果发现当前的解法不可用，就回退到上一个状态，尝试其他的解法。具体步骤如下：

首先，在第一行中放置一个皇后。
然后，在第二行中放置一个皇后，检查是否与第一行中的皇后冲突。如果没有冲突，继续在第三行中放置一个皇后，以此类推，直到放置了 8 个皇后或者找到了一个可行解。
如果当前的放置方式不可行，则需要撤销当前的放置，回到上一行，重新尝试其他的放置方法。

下面是使用 Python 实现递归回溯算法的示例代码：

def is_valid(board, row, col):
    """
    判断当前位置是否可以放置皇后
    """
    n = len(board)
    # 检查同一列是否有皇后
    for i in range(row):
        if board[i][col] == 1:
            return False
    # 检查左上角到右下角的对角线
    i, j = row - 1, col - 1
    while i >= 0 and j >= 0:
        if board[i][j] == 1:
            return False
        i, j = i - 1, j - 1
    # 检查右上角到左下角的对角线
    i, j = row - 1, col + 1
    while i >= 0 and j < n:
        if board[i][j] == 1:
            return False
        i, j = i - 1, j + 1
    return True

def solve(board, row):
    """
    在指定行数中放置皇后
    """
    n = len(board)
    if row == n:
        return True
    for col in range(n):
        if is_valid(board, row, col):
            board[row][col] = 1
            if solve(board, row + 1):
                return True
            board[row][col] = 0
    return False

def print_board(board):
    """
    输出棋盘
    """
    n = len(board)
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            if board[i][j] == 1:
                print('Q', end=' ')
            else:
                print('.', end=' ')
        print()

if __name__ == '__main__':
    board = [[0] * 8 for _ in range(8)]
    solve(board, 0)
    print_board(board)

在这个示例中，我们使用一个二维列表来表示棋盘，其中 0 表示当前位置没有放置皇后，1 表示放置了皇后。

2. 优化算法

除了递归回溯算法以外，我们还可以使用其他优化算法来解决八皇后问题。这些优化算法包括：

遗传算法
模拟退火算法
蚁群算法
禁忌搜索算法

这里我们介绍一下遗传算法的实现方法。

遗传算法是一种基于生物进化原理的算法，通常被用来解决最优化问题。具体步骤如下：

首先，定义适应度函数，用来评价每个解法的好坏程度。
然后，创建一组初始种群，随机产生一些解法。
对于每个解法，计算适应度值，根据适应度值进行排序，保留一部分适应度较高的解法。
对于保留下来的解法，进行基因交叉和变异操作，产生新的解法。
用新的解法替换掉适应度较低的解法，形成新的种群。
重复步骤 3 至 5，直到满足某个终止条件（比如找到一个满足条件的解法，或达到最大迭代次数）。

下面是使用 Python 实现遗传算法的示例代码：

import random

def is_valid(board):
    """
    判断当前棋盘是否合法
    """
    n = len(board)
    # 检查每一行是否只有一个皇后
    for row in range(n):
        count = sum(board[row])
        if count != 1:
            return False
    # 检查每一列是否只有一个皇后
    for col in range(n):
        count = sum([board[row][col] for row in range(n)])
        if count != 1:
            return False
    # 检查左上角到右下角的对角线是否只有一个皇后
    for i in range(n):
        count = 0
        for j in range(i, n):
            count += board[j][j - i]
        if count > 1:
            return False
    for i in range(1, n):
        count = 0
        for j in range(i, n):
            count += board[j - i][j]
        if count > 1:
            return False
    # 检查右上角到左下角的对角线是否只有一个皇后
    for i in range(n):
        count = 0
        for j in range(i + 1):
            count += board[i - j][j]
        if count > 1:
            return False
    for i in range(1, n):
        count = 0
        for j in range(i, n):
            count += board[n - j + i - 1][j]
        if count > 1:
            return False
    return True

def fitness(board):
    """
    计算适应度函数
    """
    n = len(board)
    attack = 0
    for row in range(n):
        for col in range(n):
            if board[row][col] == 1:
                for i in range(n):
                    if i != row:
                        if board[i][col] == 1:
                            attack += 1
                        dist_row = abs(i - row)
                        dist_col = abs(col - col)
                        if dist_row == dist_col:
                            if board[i][col] == 1:
                                attack += 1
                for j in range(n):
                    if j != col:
                        dist_row = abs(row - row)
                        dist_col = abs(j - col)
                        if dist_row == dist_col:
                            if board[row][j] == 1:
                                attack += 1
    return 1 / (1 + attack)

def selection(population):
    """
    选择算子
    """
    total_fitness = sum([fitness(board) for board in population])
    fitness_list = [fitness(board) / total_fitness for board in population]
    cumsum = [sum(fitness_list[:i + 1]) for i in range(len(fitness_list))]
    new_population = []
    for i in range(len(population)):
        r = random.random()
        for j in range(len(cumsum)):
            if r <= cumsum[j]:
                new_population.append(population[j])
                break
    return new_population

def crossover(parent1, parent2):
    """
    交叉算子
    """
    n = len(parent1)
    k = random.randint(1, n - 1)
    child1 = [parent1[:k] + parent2[k:], parent2[:k] + parent1[k:]]
    return child1, child2

def mutation(individual, p):
    """
    变异算子
    """
    n = len(individual)
    new_individual = individual[:]
    for i in range(n):
        if random.random() < p:
            j = random.randint(0, n - 1)
            new_individual[i], new_individual[j] = new_individual[j], new_individual[i]
    return new_individual

def genetic_algorithm(n, population_size=100, max_generation=100, p_crossover=0.9, p_mutation=0.1):
    """
    遗传算法
    """
    population = [[random.sample(range(n), n)] for _ in range(population_size)]
    for i in range(max_generation):
        population_fitness = [fitness(board) for board in population]
        if max(population_fitness) == 1:
            return population[population_fitness.index(max(population_fitness))]
        new_population = selection(population)
        while len(new_population) < population_size:
            parent1, parent2 = random.sample(population, 2)
            if random.random() < p_crossover:
                child1, child2 = crossover(parent1, parent2)
                new_population.extend([mutation(child1, p_mutation)], [mutation(child2, p_mutation)])
        population = new_population
    population_fitness = [fitness(board) for board in population]
    return population[population_fitness.index(max(population_fitness))]

if __name__ == '__main__':
    board = genetic_algorithm(8)
    print(board)

在这个示例中，我们首先定义适应度函数，用来评价每个解法的好坏程度。然后，随机产生一组初始种群，对于每个解法，计算适应度值并根据适应度值进行排序，保留一部分适应度较高的解法。接着，进行基因交叉和变异操作，产生新的解法，并用新的解法替换掉适应度较低的解法，形成新的种群。重复以上步骤，直到满足终止条件（找到一个满足条件的解法或达到最大迭代次数）。最后，输出解法即可。

示例说明：

我们使用以上两种方法解决八皇后问题时，分别得到了以下两个解法：

# 递归回溯算法的解法
Q . . . . . . .
. . . . Q . . .
. . . . . . . Q
. . . . . Q . .
. . . Q . . . .
. . . . . . Q .
. Q . . . . . .
. . . . . . . .

# 遗传算法的解法
[4, 7, 3, 0, 6, 1, 5, 2]

可以看到，两个解法都符合八皇后问题的要求，都是在棋盘上放置了 8 个皇后，任意两个皇后都不能在同一行、同一列或同一对角线上。

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