吴恩达机器学习复习2：多重特征、多重变量的梯度下降、梯度下降实践Ⅰ：数据特征缩放、梯度下降实践Ⅱ：学习率、特征和多项式回归、正规方程法、向量化

2023年4月11日上午9:28 • 机器学习

【多重特征】

多变量线性回归

可以有任何输入变量的等式的表示方法

假设

使用矩阵乘法的定义，我们的多变量假设功能可以被简洁地描述为

这是未来我们为训练例子的准备的假设函数的向量化

【多重变量的梯度下降】

假设

参数

代价函数

梯度下降的步骤

原来的算法（n=1）

反复做{

角度0 = 原角度0-学习率 *(1/m) 求和[ 假设函数值-实际函数值 ]

角度1 = 原角度1-学习率 *(1/m) 求和[（假设函数值-实际函数值）* 自变量 ]

}

新的算法（n>=1）

反复做{

角度j = 原角度1-学习率 *(1/m) 求和[（假设函数值-实际函数值）* 自变量 ]

}

【梯度下降实践Ⅰ：数据特征缩放】

思想：使得确定的特征在一个相似的衡量尺度上

平均值归一化

把x换成x-μ，使特征接近大约零平均值

标准化

现在你知道了特征放大，如果你运用这个简单的技巧，它会让梯度下降运行得更快，并且在更小的迭代步数里收敛。

把你的输入值以粗略的相同的范围，加速梯度下降

【梯度下降实践Ⅱ：学习率】

debug除错：使得梯度下降正确工作

如何选择除错率？

找到你希望用来最小化代价函数的theta值

x轴代表梯度下降的迭代次数

迭代100次后得到一个theta，又得出一个代价函数J(theta)。

当梯度下降不能正常工作时

有关学习率选择与梯度下降图像的选择题

在图C中，代价函数值在增加，说明学习率太高了

A和B都收敛到一个代价函数的最优点，但是B收敛太慢了，说明学习率太低

总结：

学习率太小：收敛慢

学习率太大：代价函数随迭代次数增加而增加，甚至不收敛

{为梯度下降除错}

画一个该梯度下降的迭代次数与代价函数值的图
如果代价函数甚至增加了，你可能需要减小学习率啦

{自动收敛测试}

如果代价函数每次都比E（10的-3次方）减少得还要慢，说明是收敛的
然而实际上很难选择门槛值

【特征和多项式回归】

提高特征和假设函数的形式，以一系列不同的方式

{多项式回归}

我们的假设函数不需要是线性，如果能和数据拟合得很好的话

我们可以改变行为或我们假设函数的曲线，通过制造一个二次的、三次的或平方根函数（或任何形式）

注意：如果你以这种方式选择特征，那么特征缩放就变得很重要了！

【正规方程法】

在正规方程法的方法中，通过对theta j求导，最小化代价函数，然后把它们设为0.

这让我们得以不用迭代就能找到最优化值。

不需要用正规方程法做特征缩放

*梯度下降法和正规方程法的比较

用正规方程法计算转置有O(n^3)的复杂度

所以如果我们有更大数量的特征，那么用正规方程法就会很慢。

实际上，当n超过1万时，从正规解法到迭代过程会有一个很好的时间。

正规方程的不可逆

在matlab里执行正规方程时，我们一般用pinv功能，它能返回theta值（即使X^TX不可逆的时候）

常见的原因是：

1.冗余的特征，有两个特征是相关的（尽管不是线性独立）

2.太多的特征了。在本例中，删除一些特征或使用归一化

解决方法：

1.删除互相线性独立的一个特征

2.如果特征太多了，删除一个或多个特征

【向量化】

向量化的例子

h(x)=sum(theta_j*x_j)=theta^T*x

%matlab
%未向量化执行法
prediction=0.0;
for j=1:n+1;
    prediction=prediction+theta(j)*x(j)
end;

double prediction =0.0;
for(int j = 0;j<=n;j++)
    prediction+=theta[j]*x[j];


%向量化执行方法
prediction=theta'*x;

double prediction=theta.transpose()*x;