【多重特征】

多变量线性回归

可以有任何输入变量的等式的表示方法

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 假设

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 使用矩阵乘法的定义,我们的多变量假设功能可以被简洁地描述为

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 这是未来我们为训练例子的准备的假设函数的向量化

【多重变量的梯度下降】

假设

参数

代价函数

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梯度下降的步骤

原来的算法(n=1)

反复做{

角度0 = 原角度0-学习率 *(1/m)  求和[  假设函数值-实际函数值  ]

角度1 = 原角度1-学习率 *(1/m)  求和[(假设函数值-实际函数值)*  自变量  ]

}

新的算法(n>=1)

反复做{

角度j = 原角度1-学习率 *(1/m)  求和[(假设函数值-实际函数值)*  自变量  ]

}

 

【梯度下降实践Ⅰ:数据特征缩放】

思想: 使得确定的特征在一个相似的衡量尺度上

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平均值归一化

把x换成x-μ,使特征接近大约零平均值

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标准化

现在你知道了特征放大,如果你运用这个简单的技巧,它会让梯度下降运行得更快,并且在更小的迭代步数里收敛。

把你的输入值以粗略的相同的范围,加速梯度下降

【梯度下降实践Ⅱ:学习率】

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debug除错:使得梯度下降正确工作

如何选择除错率?

找到你希望用来最小化代价函数的theta值

x轴代表梯度下降的迭代次数

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 迭代100次后得到一个theta,又得出一个代价函数J(theta)。

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 当梯度下降不能正常工作时

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 有关学习率选择与梯度下降图像的选择题

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 在图C中,代价函数值在增加,说明学习率太高了

A和B都收敛到一个代价函数的最优点,但是B收敛太慢了,说明学习率太低

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总结:

学习率太小:收敛慢

学习率太大:代价函数随迭代次数增加而增加,甚至不收敛

 

{为梯度下降除错}

画一个该梯度下降的迭代次数与代价函数值的图
如果代价函数甚至增加了,你可能需要减小学习率啦

 

{自动收敛测试}

如果代价函数每次都比E(10的-3次方)减少得还要慢,说明是收敛的
然而实际上很难选择门槛值

 

【特征和多项式回归】

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 提高特征和假设函数的形式,以一系列不同的方式

{多项式回归}

我们的假设函数不需要是线性,如果能和数据拟合得很好的话

我们可以改变行为或我们假设函数的曲线,通过制造一个二次的、三次的或平方根函数(或任何形式)

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 注意:如果你以这种方式选择特征,那么特征缩放就变得很重要了!

【正规方程法】

 在正规方程法的方法中,通过对theta j求导,最小化代价函数,然后把它们设为0.

这让我们得以不用迭代就能找到最优化值。

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 不需要用正规方程法做特征缩放

*梯度下降法和正规方程法的比较

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 用正规方程法计算转置有O(n^3)的复杂度

所以如果我们有更大数量的特征,那么用正规方程法就会很慢。

实际上,当n超过1万时,从正规解法到迭代过程会有一个很好的时间。

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 正规方程的不可逆

在matlab里执行正规方程时,我们一般用pinv功能,它能返回theta值(即使X^TX不可逆的时候)

常见的原因是:

1.冗余的特征,有两个特征是相关的(尽管不是线性独立)

2.太多的特征了。在本例中,删除一些特征或使用归一化

解决方法:

1.删除互相线性独立的一个特征

2.如果特征太多了,删除一个或多个特征

【向量化】

 向量化的例子

h(x)=sum(theta_j*x_j)=theta^T*x

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%matlab
%未向量化执行法
prediction=0.0;
for j=1:n+1;
    prediction=prediction+theta(j)*x(j)
end;

double prediction =0.0;
for(int j = 0;j<=n;j++)
    prediction+=theta[j]*x[j];


%向量化执行方法
prediction=theta'*x;

double prediction=theta.transpose()*x;

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