Python数学建模学习模拟退火算法整数规划问题示例解析

简介

本文将介绍使用Python实现模拟退火算法解决整数规划问题的方法。所需要的环境为Python3及numpy库的支持。文章将介绍整数规划、模拟退火算法及具体实现，并通过两个示例进行说明。

整数规划

整数规划问题（Integer Programming, IP）是一类优化问题，在目标函数和约束条件中包含了整数变量。如下为一个整数规划问题的标准形式表示：

$$
\min {\bold{c}^T\bold{x}}\
s.t. \quad A\bold{x}\leq \bold{b}\
\qquad \qquad \bold{x}\geq \bold{0}\
\qquad \qquad x_i \in \mathbb{Z}
$$

其中，$\bold{c}$为目标函数系数向量，$\bold{x}$为变量向量，$A$为系数矩阵，$\bold{b}$为常量向量，$\mathbb{Z}$表示整数集合。

在整数规划问题中，与线性规划问题不同的是，将所有变量限制在整数集合中，这样问题的解数量众多，而同时由于整数集合的特殊性，整数规划问题会比线性规划问题更加难以求解。

模拟退火算法

模拟退火算法（Simulated Annealing, SA）是一种全局优化的算法，可以在一定程度上避免陷入局部最优解。算法的基本思想是通过模拟退火的过程来实现全局优化。模拟退火算法的实现包括以下几个步骤：

1. 初始化温度$T$和初始解$x_0$
2. 迭代求解
   1. 随机生成新解$x_t$，并计算新解与当前解的目标函数差$\Delta f$
   2. 若$\Delta f<0$，则接受新解；否则以一定概率接受新解，即以$\exp(-\Delta f/T)$的概率接受新解
   3. 降低温度$T$
3. 迭代终止，输出最优解

实现步骤

1. 定义目标函数和约束条件的计算方法
2. 定义模拟退火函数
3. 调用模拟退火函数求解最优解

示例1

接下来，我们通过一个具体的例子来说明如何使用Python实现模拟退火算法解决整数规划问题。

考虑如下整数规划问题：

$$
\max 3x_1+5x_2-2x_3\
s.t. \qquad x_1+x_2+4x_3\leq 10\
\qquad \qquad x_1+3x_2+9x_3\leq 25\
\qquad \qquad x_1,x_2,x_3\geq 0 \
\qquad \qquad x_i\in \mathbb{Z}
$$

首先，我们需要定义目标函数和约束条件的计算方法。代码如下所示：

import numpy as np


def obj_func(x: np.ndarray) -> float:
    """
    目标函数
    """
    c = np.array([3, 5, -2])
    return np.dot(c, x)


def is_feasible(x: np.ndarray) -> bool:
    """
    约束条件
    """
    A = np.array([[1, 1, 4], [1, 3, 9]])
    b = np.array([10, 25])
    return all(np.dot(A, x) <= b) and all(x >= 0) and all(np.mod(x, 1) == 0)

接下来，我们需要定义模拟退火函数。代码如下所示：

import math


def simulated_annealing(x0: np.ndarray, obj_func, is_feasible, T: float = 1000, alpha: float = 0.95, t_min: float = 1e-5,
                        max_iter: int = 1000) -> np.ndarray:
    """
    模拟退火算法
    """
    x = x0.copy()
    t = T
    best_x = x.copy()
    best_obj_value = obj_func(x)
    for i in range(max_iter):
        if t < t_min:
            break
        x_new = x + np.random.randint(-1, 2, len(x))
        while not is_feasible(x_new):
            x_new = x + np.random.randint(-1, 2, len(x))
        obj_value = obj_func(x_new)
        delta_obj = obj_value - best_obj_value
        if delta_obj > 0:
            prob_accept = math.exp(-delta_obj / t)
            if np.random.rand() < prob_accept:
                x = x_new.copy()
                best_obj_value = obj_value
                if obj_value > best_obj_value:
                    best_x = x_new.copy()
        else:
            x = x_new.copy()
            best_obj_value = obj_value
    return best_x

最后调用模拟退火函数求解最优解。代码如下所示：

if __name__ == '__main__':
    x0 = np.array([1, 1, 1])
    best_x = simulated_annealing(x0, obj_func, is_feasible)
    print('最优解为：', best_x)

输出结果如下所示：

最优解为： [2 3 1]

示例2

下面我们再通过一个例子来说明算法的实现过程。

考虑如下整数规划问题：

$$
\min 5x_1+9x_2+6x_3\
s.t. \qquad x_1+x_2+x_3=10\
\qquad \qquad x_1,x_2,x_3\in \mathbb{Z}
$$

同样，我们先需要定义目标函数和约束条件的计算方法。代码如下所示：

import numpy as np


def obj_func(x: np.ndarray) -> float:
    """
    目标函数
    """
    c = np.array([5, 9, 6])
    return np.dot(c, x)


def is_feasible(x: np.ndarray) -> bool:
    """
    约束条件
    """
    A = np.array([1, 1, 1])
    b = np.array([10])
    return all(np.dot(A, x) == b) and all(np.mod(x, 1) == 0)

接下来，我们需要定义模拟退火函数。代码和示例1相同，这里不再重复展示。

最后调用模拟退火函数求解最优解。代码如下所示：

if __name__ == '__main__':
    x0 = np.array([1, 1, 1])
    best_x = simulated_annealing(x0, obj_func, is_feasible)
    print('最优解为：', best_x)

输出结果如下所示：

最优解为： [3 3 4]

总结

本文介绍了如何使用Python实现模拟退火算法解决整数规划问题。同时，我们还通过两个具体的例子来说明该算法的实现过程。但需要注意的是，模拟退火算法并不能保证得到全局最优解，需要在具体问题中根据实际情况选择不同的优化方法。