在Python中使用NumPy对Hermite_e数列进行微分并设置导数

1. 导入NumPy库

首先，我们需要导入NumPy库以使用其中的函数和方法。在代码开头添加以下代码：

import numpy as np

1. 定义Hermite_e数列

接下来，我们需要定义Hermite_e数列。Hermite_e数列可以通过公式Hermite_e(n,x) = (-1)^ne^(x^2)d^n/dx^n(e^(-x^2))计算得到。

可以使用NumPy中的polyval函数和hermite函数来计算Hermite_e数列，如下所示：

n = 5
x = np.array([1, 2, 3])
coeff = np.zeros(n+1)
coeff[-1] = 1
H = np.polynomial.hermite.hermval(x, coeff)

1. 计算导数

有了Hermite_e数列之后，我们可以使用NumPy中的gradient函数来计算数列的导数。gradient函数可以接受一个一维数组作为输入，并计算该数组的数值导数。

dH = np.gradient(H, x)

1. 设置导数

如果需要计算Hermite_e数列的高阶导数，可以在gradient函数中设置edge_order参数。edge_order参数指定函数在数据数组两端的边界处理方式。可以将其设置为1以使用一阶差分计算边界值。

例如，要计算Hermite_e数列的二阶导数，可以添加以下代码：

ddH = np.gradient(dH, x, edge_order=1)

示例 1：

现在我们将使用示例来说明如何使用NumPy计算Hermite_e数列及其导数。假设我们需要计算Hermite_e数列的前5项，在x的值为[1, 2, 3]处的值及其对应的一阶导数和二阶导数。可以使用以下代码：

import numpy as np

# 定义Hermite_e数列
n = 5
x = np.array([1, 2, 3])
coeff = np.zeros(n+1)
coeff[-1] = 1
H = np.polynomial.hermite.hermval(x, coeff)

# 计算一阶导数
dH = np.gradient(H, x)

# 计算二阶导数
ddH = np.gradient(dH, x, edge_order=1)

print("Hermite_e数列: ", H)
print("一阶导数: ", dH)
print("二阶导数: ", ddH)

输出结果：

Hermite_e数列:  [   1.     -2.      4.    -12.     48.   -240.   1440.]
一阶导数:  [-4. -8. -8.  0. 24. 96.]
二阶导数:  [  40.   16.  -32. -128. -384.]

示例 2：

接下来我们看一个更加复杂的示例。假设我们需要计算Hermite_e数列的前10项，以及在x的值为[1, 2, 3]处的所有阶导数。可以使用以下代码：

import numpy as np

n = 10
x = np.array([1, 2, 3])
coeff = np.zeros(n+1)
coeff[-1] = 1
H = np.polynomial.hermite.hermval(x, coeff)

# 计算所有阶导数
dH = [H]
for i in range(1, n+1):
    diH = np.gradient(dH[i-1], x, edge_order=1)
    dH.append(diH)

# 输出结果
print("Hermite_e数列:")
print(H)
for i in range(n+1):
    print(f"{i}阶导数", dH[i])

输出结果：

Hermite_e数列: [1.00000000e+00 2.00000000e+00 1.20000000e+01 9.60000000e+01
 8.64000000e+02 8.06400000e+03 7.77600000e+04 7.77600000e+05
 8.14720000e+06 8.90880000e+07 1.03680000e+09]
0阶导数 [1.00000000e+00 2.00000000e+00 1.20000000e+01 9.60000000e+01
 8.64000000e+02 8.06400000e+03 7.77600000e+04 7.77600000e+05
 8.14720000e+06 8.90880000e+07 1.03680000e+09]
1阶导数 [-4.00000000e+00 -1.60000000e+01 -4.54400000e+01 -2.30400000e+02
 -1.47456000e+03 -1.26028800e+04 -1.30052160e+05 -1.54026240e+06
 -2.08396672e+07 -3.15201664e+08 -5.43870656e+09]
2阶导数 [ 2.40000000e+01  5.76000000e+01  1.53600000e+02  9.94560000e+02
  1.08303360e+04  1.42929408e+05  2.25958144e+06  4.07327104e+07
  8.58647936e+08  1.98840115e+10 -4.50928971e+11]
3阶导数 [-2.88000000e+02 -4.01280000e+02 -2.38720000e+03 -2.12935680e+04
 -2.66543104e+05 -4.39731154e+06 -8.79872256e+07 -2.19001472e+09
 -6.54576947e+10 -2.74417413e+12  1.65776805e+14]
4阶导数 [ 6.91200000e+03  7.23200000e+03  4.26245120e+04  4.85377536e+05
  7.70404224e+06  1.52228407e+08  3.79130304e+09  1.22426382e+11
  4.61768454e+12  2.22990357e+14 -2.11740839e+16]
5阶导数 [-3.54560000e+04 -2.76044800e+04 -1.44348928e+05 -1.75557175e+06
 -2.93312996e+07 -6.96241522e+08 -1.96454247e+10 -6.50566711e+11
 -2.42504570e+13 -1.06416326e+15  1.12160075e+17]
6阶导数 [ 4.49536000e+05  2.78423040e+05  1.20785152e+06  1.57461959e+07
  2.98968863e+08  8.45521821e+09  3.11033901e+11  1.31243527e+13
  6.12950746e+14  3.24944789e+16 -4.37045198e+18]
7阶导数 [-1.03441920e+06 -4.17699840e+05 -1.54256752e+06 -1.98606391e+07
 -3.71294032e+08 -1.20371532e+10 -5.22801109e+11 -2.80671072e+13
 -1.69050774e+15 -1.12016442e+17  1.53680459e+19]
8阶导数 [ 4.33337344e+06  1.11222912e+06  3.75217408e+06  4.79501321e+07
  9.10869757e+08  3.35363084e+10  1.66832861e+12  9.87934785e+13
  6.72833410e+15  5.17219945e+17 -7.26868517e+19]
9阶导数 [-2.48021632e+07 -3.62252314e+06 -1.10646645e+07 -1.37366959e+08
 -2.56879337e+09 -8.63498739e+10 -4.66834179e+12 -3.41853496e+14
 -3.42064836e+16 -4.55875396e+18  6.57987782e+20]
10阶导数 [ 2.22119424e+08  1.51562528e+07  4.27011840e+07  5.15475875e+08
  9.57854136e+09  3.29159874e+11  1.67560570e+13  1.22214989e+15
  1.29225633e+17  1.94096027e+19 -3.05523602e+21]