使用Python中的NumPy对Hermite级数进行微分，并将每次微分乘以标量

2023年3月25日下午4:25 • python-answer

下面是使用Python中的NumPy对Hermite级数进行微分并乘以标量的攻略。

1. Hermite函数介绍

我们先来了解一下Hermite函数。Hermite函数是一类杂波函数。最简单的一类是厄米多项式（Hermite polynomial），它是解厄米微分方程（Hermite differential equation）的一个函数。在物理中被广泛地应用。

在数学上，厄米多项式就是满足下列微分方程的多项式：

$$
y''(x) - 2xy'(x) + 2ny(x) = 0
$$

其中 $n$ 是任意实数。在物理中，$n$ 通常是一个非负整数，且不同的 $n$ 对应不同的阶数的厄米多项式。而 $x$ 则是一个实变量。

在本文中，我们将尝试使用NumPy对厄米多项式进行微分

2. 使用NumPy对Hermite级数进行微分

为了使用NumPy对厄米多项式进行微分，我们需要导入NumPy库：

import numpy as np

接下来，我们定义一个表示厄米多项式的函数：

def hermite(x, n):
    if n == 0:
        return 1.0
    elif n == 1:
        return 2.0*x
    else:
        return 2.0*x*hermite(x, n-1) - 2.0*(n-1)*hermite(x, n-2)

这个函数是一个递归函数，用于计算厄米多项式在 $x$ 处的值。我们可以使用该函数来创建一个表示厄米多项式级数的数组：

x = np.linspace(-10, 10, 101) # 创建一个表示 x 取值范围的数组
H = np.array([hermite(x, n) for n in range(6)]) # 创建一个表示厄米多项式级数的数组

这个数组将包含 6 个不同阶数的厄米多项式，并表示为一个 6x101 的数组。

现在，我们可以对该数组进行微分操作。具体来说，我们可以使用NumPy的diff函数来进行微分。该函数将返回一个数组，其中每个元素等于相邻两个元素的差值。例如，对于一个长度为 5 的数组 [1, 3, 5, 7, 9]，该函数将返回长度为 4 的数组 [2, 2, 2, 2]。

为了对Hermite级数进行微分，我们可以按以下方式使用diff函数：

dH = np.diff(H, axis=1) # 沿着列计算差分

在此处，我们将沿着列的方向（即每列之间）计算差分，因为我们希望对每个阶数的厄米多项式分别进行微分。

3. 将微分乘以标量

接下来，我们需要将微分乘以一个标量。假设我们要将微分乘以 $2\pi i$（即乘以 $j$，用于频域和傅里叶变换的计算），我们可以使用以下代码：

j = 2*np.pi*1j # 定义 j

dH *= j # 将微分乘以 j

这里的 *= 运算符表示将左侧的数组乘以右侧的标量。

我们现在已经完成了微分并将其乘以标量。接下来，我们可以绘制Hermite级数和其微分的图表，以便进一步观察结果。

4. 示例

下面是两个使用NumPy对厄米多项式进行微分的示例。

示例1

在这个示例中，我们将计算最大阶数为 10 的厄米多项式级数的微分，并将其乘以 $2\pi i$。我们将使用以下代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义厄米多项式函数
def hermite(x, n):
    if n == 0:
        return 1.0
    elif n == 1:
        return 2.0*x
    else:
        return 2.0*x*hermite(x, n-1) - 2.0*(n-1)*hermite(x, n-2)

# 创建表示 x 取值范围的数组
x = np.linspace(-10, 10, 101)

# 创建表示厄米多项式级数的数组
H = np.array([hermite(x, n) for n in range(11)])

# 对Hermite级数进行微分并将其乘以 j
j = 2*np.pi*1j
dH = np.diff(H, axis=1)
dH *= j

# 绘图
plt.figure(figsize=(10, 5))

for n in range(11):
    plt.plot(x, H[n], label=f'Hermite{n}')
    if n > 0:
        plt.plot(x[:-1], dH[n-1], label=f'dHermite{n-1}')

plt.xlim(-10, 10)
plt.ylim(-100, 100)
plt.legend()
plt.show()

该代码将绘制三个图表，一个图表用于展示无微分的Hermite级数，另外两个图表用于展示微分后的Hermite级数。这是其中的一个图表：

Hermite

示例2

在这个示例中，我们将计算一个具有 100 个点的厄米多项式级数的微分，并将其乘以 $-1$。我们将使用以下代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义厄米多项式函数
def hermite(x, n):
    if n == 0:
        return 1.0
    elif n == 1:
        return 2.0*x
    else:
        return 2.0*x*hermite(x, n-1) - 2.0*(n-1)*hermite(x, n-2)

# 创建表示 x 取值范围的数组
x = np.linspace(-10, 10, 100)

# 创建表示厄米多项式级数的数组
H = np.array([hermite(x, n) for n in range(6)])

# 对Hermite级数进行微分并将其乘以 -1
dH = np.diff(H, axis=1)
dH *= -1

# 绘图
plt.figure(figsize=(10, 5))

for n in range(6):
    plt.plot(x, H[n], label=f'Hermite{n}')
    if n > 0:
        plt.plot(x[:-1], dH[n-1], label=f'dHermite{n-1}')

plt.xlim(-10, 10)
plt.ylim(-100, 100)
plt.legend()
plt.show()

该代码将绘制三个图表，一个图表用于展示无微分的Hermite级数，另外两个图表用于展示微分后的Hermite级数。这是其中的一个图表：

Hermite2