在Python中使用NumPy对x和y的笛卡尔乘积的二维赫米特级数进行评估，并使用1d的系数阵列

让我们来详细讲解在Python中使用NumPy对x和y的笛卡尔乘积的二维赫米特级数进行评估，并使用1d的系数阵列的完整攻略。具体步骤如下：

1. 导入NumPy库

在开始之前，请确保你已经安装了NumPy库。首先，在Python脚本的开头导入NumPy库：

import numpy as np

2. 定义赫米特多项式函数

接下来，我们定义一个赫米特多项式函数，用来计算赫米特级数的值。这里我们参考赫米特级数的定义，使用一个递归函数来计算赫米特多项式：

def hermite(n, x):
    if n == 0:
        return 1
    elif n == 1:
        return 2*x
    else:
        return 2*x*hermite(n-1, x) - 2*(n-1)*hermite(n-2, x)

该函数接受两个参数：$n$ 表示赫米特多项式的阶数，$x$ 表示自变量的值。通过递归方式，该函数可以计算出任意阶数的赫米特多项式的值。

3. 定义笛卡尔乘积函数

接下来，我们定义一个笛卡尔乘积函数，用来计算 $x$ 和 $y$ 的笛卡尔积：

def cartesian_product(x, y):
    xx, yy = np.meshgrid(x, y)
    return np.column_stack([xx.ravel(), yy.ravel()])

该函数接受两个参数：$x$ 和 $y$，分别表示两个一维数组。该函数利用NumPy中的 meshgrid 函数，生成 $x$ 和 $y$ 的网格矩阵，并使用 column_stack 函数将两个网格矩阵合并成一个二维数组。

4. 计算赫米特级数的值并输出

接下来，我们使用上面的两个函数来计算 $x$ 和 $y$ 的笛卡尔积的赫米特级数的值。假设我们需要计算 $x$ 和 $y$ 取值范围分别为 $[-1,1]$ 的笛卡尔积的赫米特级数的值，且需要计算到第 $3$ 阶赫米特级数。代码如下：

x = np.linspace(-1, 1, 10)
y = np.linspace(-1, 1, 10)
n = 3

grid = cartesian_product(x, y)
result = np.zeros_like(grid[:,0])

for i in range(n+1):
    coeff = (-1)**i / (2**i * np.math.factorial(i))
    result += coeff * hermite(i, grid[:,0]) * hermite(i, grid[:,1])

result = result.reshape((10, 10))

print(result)

首先，我们使用 linspace 函数生成一个包含10个数的一维数组 $x$ 和 $y$，该数组的取值范围为 $[-1,1]$。然后，我们调用 cartesian_product 函数生成 $x$ 和 $y$ 的笛卡尔积的二维数组 grid。接下来，我们初始化一个和 grid 数组第一列长度一样的一维数组 result，并将其全部初始化为 $0$。最后，我们使用一个循环来逐个计算赫米特级数，并将计算结果保存到 result 数组中。最后，我们将 result 数组重新变成一个10x10的二维数组，并输出其结果。

第二个示例中，我们将计算 $x$ 和 $y$ 取值范围分别为 $[0,2]$ 的笛卡尔积的赫米特级数的值，且需要计算到第 $7$ 阶赫米特级数。代码如下：

x = np.linspace(0, 2, 20)
y = np.linspace(0, 2, 20)
n = 7

grid = cartesian_product(x, y)
result = np.zeros_like(grid[:,0])

for i in range(n+1):
    coeff = (-1)**i / (2**i * np.math.factorial(i))
    result += coeff * hermite(i, grid[:,0]) * hermite(i, grid[:,1])

result = result.reshape((20, 20))

print(result)

这段代码和示例1类似，只是将 $x$ 和 $y$ 的取值范围改为 $[0,2]$，并将数组长度改为 $20$。