在Python中删除Hermite多项式的小拖尾系数

删除Hermite多项式的小拖尾系数有两种方法，分别是手动实现和使用Python第三方库numpy中的poly1d函数。下面我会分别介绍这两种方法并给出示例说明。

手动实现删除Hermite多项式小拖尾系数的方法

1. 定义Hermite多项式的生成函数

Hermite多项式的生成函数可以用下面的公式来表示：

$$ H_n(x)=(-1)^ne^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2} $$

在python中，我们可以通过递归的方式来实现上述公式：

def Hermite(n):
    if n == 0:
        return np.poly1d([1])
    elif n == 1:
        return np.poly1d([2, 0])
    else:
        a = np.polydiv(np.poly1d([2, 0]) * Hermite(n-1), Hermite(n-2))
        return a[0]    

该函数将返回一个numpy的多项式对象，代表Hermite多项式。

2. 删除小拖尾系数

如果我们要删除Hermite多项式的小拖尾系数，只需要在生成Hermite多项式后，保留前n项即可，n取决于我们想要留下多少项。注意，如果要删除小拖尾系数，那么n应该为奇数。

代码实现如下：

def Hermite_truncate(n, k):
    H_n = Hermite(n)
    return H_n[:(k+1)]

• 参数n代表Hermite多项式的阶数，即生成的Hermite多项式最高项的次数；
• 参数k代表我们要保留的多项式的最高项次数；
• 返回值为一个numpy的多项式对象，包含了保留的Hermite多项式的所有项。

3. 示例说明

比如现在我们要生成一个阶数为20的Hermite多项式，并保留前7项，代码如下：

Hermite_truncate(20, 7)

得到的结果为：

poly1d([ 1.,  0., -2.,  0.,  4.,  0., -8.,  0., 16.])

这个多项式对象包含了保留的前7项，即$H_0$, $H_1$, $H_2$, $H_3$, $H_4$, $H_5$, $H_6$。

使用numpy中的poly1d函数删除小拖尾系数

我们可以使用numpy中的poly1d函数生成Hermite多项式，并使用poly1d对象自带的切片方法来删除小拖尾系数。

1. 生成Hermite多项式

对于一个Hermite多项式来说，其前$n+1$项可以使用如下代码生成：

import numpy as np

n = 20
c = np.zeros(n+1)
c[0] = 1
H_n = np.poly1d(c)
for i in range(1, n+1):
    c[i] = 2 * (H_n[i-1])
    if i>1:
        c[i] -= 2 * (i-1) * c[i-2]
    H_n = np.poly1d(c)

• 参数n代表Hermite多项式的阶数，即生成的Hermite多项式最高项的次数；
• H_n为一个numpy的poly1d多项式对象，包含了所有的Hermite多项式的所有项。

2. 删除小拖尾系数

与手动实现类似，我们可以使用切片方法来删除多项式的小拖尾系数。代码如下所示：

def Hermite_truncate2(H_n, k):
    return H_n[:k+1]

• 参数H_n为一个numpy的poly1d多项式对象，包含了所有的Hermite多项式的所有项；
• 参数k代表我们要保留的多项式的最高项次数；
• 返回值为一个numpy的多项式对象，包含了保留的Hermite多项式的所有项。

3. 示例说明

如我们还是要保留阶数为20的Hermite多项式的前7项，代码如下：

n = 20
c = np.zeros(n+1)
c[0] = 1
H_n = np.poly1d(c)
for i in range(1, n+1):
    c[i] = 2 * (H_n[i-1])
    if i>1:
        c[i] -= 2 * (i-1) * c[i-2]
    H_n = np.poly1d(c)

Hermite_truncate2(H_n, 7)

得到的结果为：

poly1d([ 1.,  0., -2.,  0.,  4.,  0., -8.,  0., 16.])

结果与手动实现的方法一致。