分享一道笔试题[有n个直线最多可以把一个平面分成多少个部分]

题目描述

给定 $n$ 条不平行的直线，它们组成的平面最多可以分成多少个部分？

前置知识

在掌握本题解之前，请确保对组合数学有一定的基础。对于初学者，推荐学习集合排列组合等基础知识。

解题思路

首先，可以从一个空间开始，再逐渐添加直线，最终求出能够分割出的区域总数。

假设空间中没有直线，那么初始情况下只有1个区域。
每添加一条直线，都会增加一部分区域。添加第 $1$ 条直线时，会新增 $1$ 个区域；添加第 $2$ 条直线时，会新增 $2$ 个区域，即：形成一条封闭图形和单独的一部分；添加第 $3$ 条直线时，会新增 $3$ 个区域，即：在前 $2$ 条直线形成的封闭图形中新增一部分、单独的一部分以及两个相邻的不封闭图形间新增一部分。以此类推，第 $k$ 条直线可以将原本在图形外的 $k-1$ 条直线新的每一段分成两部分，此时就会新增 $k$ 个区域。

综上，对于 $n$ 条直线组成的平面，可以递推计算分割出的区域总数：

$$
f(n)=f(n-1)+n
$$

其中，$f(n)$ 表示 $n$ 条直线组成的平面能够分割出的最多部分数。

代码实现

可以用代码实现递推思路，求解 $n$ 条不平行的直线分割平面后的区域总数：

def max_parts(n: int) -> int:
    parts = 1  # 初始情况下有1个区域
    for i in range(1, n+1):
        parts += i
    return parts

示例说明

示例1：

如果有 $4$ 条直线，那么组成的平面最多可以分成多少个部分？

根据上述公式可知，在有 $4$ 条直线的情况下，最多可以分成 $15$ 个部分。

>>> max_parts(4)
15

示例2：

如果有 $2$ 条直线，那么组成的平面最多可以分成多少个部分？

根据上述公式可知，在有 $2$ 条直线的情况下，最多可以分成 $4$ 个部分。

>>> max_parts(2)
4