UFLDL深度学习笔记（二）SoftMax 回归(矩阵化推导)

本文为学习“UFLDL Softmax回归”的笔记与代码实现，文中略过了对代价函数求偏导的过程，本篇笔记主要补充求偏导步骤的详细推导。

1. 详细推导softmax代价函数的梯度

经典的logistics回归是二分类问题，输入向量$ x^{(i)}\in\Re{n+1}$ 输出0,1判断$y^{(i)}\in{\{0,1\}}$，Softmax回归模型是一种多分类算法模型，如图所示，输出包含k个类型，$y^{(i)}\in{\{0,1,…,k\}}$。

在经典的多分类问题MNIST数字识别任务中包含0-9十个手写数字。softmax的思路是将输入值直接判决为k个类别的概率，这里就需要一个判决函数，softmax采用指数形式。求和的倒数是为了归一化概率。

\[h_\theta(x^{(i)})=\begin{bmatrix}p(y^{(i)}=1|x^{(i)};\theta)\\ p(y^{(i)}=2|x^{(i)};\theta)\\\vdots\\ p(y^{(i)}=k|x^{(i)};\theta)\\\end{bmatrix}=\frac{1}{\sum_{j=1}^k e^{\theta_j^T \cdot x^{(i)}}}\begin{bmatrix} e^{\theta_1^T \cdot x^{(i)}} \\ e^{\theta_2^T \cdot x^{(i)}}\\\vdots\\ e^{\theta_k^T \cdot x^{(i)}}\\\end{bmatrix}
\]

为了矩阵运算方便，将权重参数记作矩阵形式 $$\theta = \begin{bmatrix} \theta_1^T \ \theta_2^T\\vdots\ \theta_k^T\\end{bmatrix}_{k\times(n+1)}$$

包含权重惩罚项的softmax的代价函数为

\[J(\theta)=-\frac 1 m \left [\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^k 1\{y^{(i)}=j\}\cdot log(p(y^{(i)}=j|x^{(i)};\theta)) \right] +\frac \lambda 2 \sum_{i=1}^k\sum_{j=0}^n\theta_{ij}^2
\]

原文Softmax回归中略过了求偏导的过程，下文对其做分步推导。$\theta_j$是行向量，表示每个输入x与第j个输出分类连接的权重，将对数内除法拆分为减法可得：

\[J(\theta)=-\frac 1 m \left [\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^k 1\{y^{(i)}=j\}\cdot ({\theta_j^T x^{(i)}}-log(\sum_{l=1}^ke^{\theta_l^T \cdot x^{(i)}})) \right] +\frac \lambda 2 \sum_{i=1}^k\sum_{j=0}^n\theta_{ij}^2
\]

对$\theta_j$求偏导，可得:

\[\begin{align} \frac {\nabla J(\theta)} {\nabla \theta_j} &= -\frac 1 m\sum_{i=1}^m \left [ \frac {\nabla\sum_{j=1}^k 1\{y^{(i)}=j\}\theta_j^T x^{(i)}} {\nabla \theta_j} - \frac {\nabla \sum_{j=1}^k 1\{y^{(i)}=j\}log(\sum_{l=1}^ke^{\theta_l^T \cdot x^{(i)}}))} {\nabla \theta_j} \right] +\lambda\theta_j \\ &= -\frac 1 m\sum_{i=1}^m \left [ 1\{y^{(i)}=j\} x^{(i)} - \frac {\nabla\sum_{j=1}^k 1\{y^{(i)}=j\}\sum_{l=1}^ke^{\theta_l^T \cdot x^{(i)}}} {\sum_{l=1}^ke^{\theta_l^T \cdot x^{(i)}}\nabla \theta_j} \right] +\lambda\theta_j \\ &= -\frac 1 m\sum_{i=1}^m \left [ 1\{y^{(i)}=j\} x^{(i)} - \frac {x^{(i)}e^{\theta_j^T \cdot x^{(i)}}} {\sum_{l=1}^ke^{\theta_l^T \cdot x^{(i)}}} \right] +\lambda\theta_j \\ &= -\frac 1 m\sum_{i=1}^m x^{(i)}\left [ 1\{y^{(i)}=j\} - p(y^{(i)}=j|x^{(i)};\theta) \right] +\lambda\theta_j \end{align}
\]

这样我们得到了代价函数对参数权重的梯度，类似前篇稀疏自编码的做法，需要做以下步骤：

结合梯度下降法，使用训练数据求出参数权重$\theta$的最优解；
用训练过的权重对测试数据做前向传播，每个测试数据得到$k$个软判决输出值，分别表示判决为$1…k$分类的概率；
选取$k$个中的最大值即为对测试数据的分类结果；
与测试数据集的真实输出对比统计获得预测准确率。

2. 偏导的矩阵化表示

当真正编写代码时会发现上述梯度公式是对行向量$\theta$的，UFLDL没有给出矩阵公式，矩阵表达又该是怎样呢？请看下文推导。

基本符号表达式这样的：

输入数据：$X_{(n+1) \times m}$

概率矩阵：$norm(exp(\theta_{k\times (n+1)} \times X_{(n+1) \times m}) )= P_{k\times m}$

1函数表示第i个输入的输出值是否为分类j，遍历所有输入、输出得到矩阵 $ G_{k \times m}$，称为groundTruth.

偏导第j行的向量为输入数据每一行(共n+1行)与$G_{k \times m} P_{k \times m}$的每一行的点积，加上$\lambda\theta_j$ 本身：

\[\begin{align} \frac {\nabla J(\theta)} {\nabla \theta_j} &=-\frac 1 m X_{(n+1) \times m} \bullet(g_{m\times1}-p_{m\times1}) +\lambda\theta_j \end{align}
\]

再进一步写成矩阵形式：

\[\begin{align} \frac {\nabla J(\theta)} {\nabla \theta} &=-\frac 1 m (G_{k \times m}-P_{k\times m}) *X_{(n+1) \times m}^T +\lambda\theta \end{align}
\]

好了，矩阵化完成，可以痛快地写代码了！

3. matlab代码实现

这里只给出实现过程中遇到问题的代码片段，完整代码见https://github.com/codgeek/deeplearning，编写过前一节稀疏自编码的小伙伴应该对整体结构比较熟悉了，softmaxCost.m实现给定参数权重时的代价值与梯度的矩阵计算，softmaxExercise.m结合梯度下降调用代价、梯度计算，完整实现上述四个步骤。

对1函数的计算有一些语法技巧，示例代码给出的full/sparse有些抽象，我用最基本的的==返回矩阵逻辑结果这个特性来计算，

首先把校验标签复制k份获得$k\times m$的矩阵:labels = repmat(labels, numClasses, 1);

然后制造出每一行等于行号的矩阵:k = repmat((1:numClasses)',1,numCases);

所以1函数对应的矩阵$ G_{k \times m}$为groundTruth = double((k == labels));

上一节已经给出了完整的矩阵化公式，也是理论转换为代码实现的难点所在，softmaxCost.m详细代码如下，

function [cost, grad] = softmaxCost(theta, numClasses, inputSize, lambda, data, labels, ~)
% numClasses - the number of classes 
% inputSize - the size N of the input vector
% lambda - weight decay parameter
% data - the N x M input matrix, where each column data(:, i) corresponds to
%        a single test set
% labels - an M x 1 matrix containing the labels corresponding for the input data
%

% Unroll the parameters from theta
theta = reshape(theta, numClasses, inputSize);

numCases = size(data, 2);
% groundTruth = full(sparse(labels, 1:numCases, 1));
% 
labels = repmat(labels, numClasses, 1);
k = repmat((1:numClasses)',1,numCases);% numClasses×numCases. 
groundTruth = double((k == labels));% % groundTruth algrithum is the same as (k===label)
thetagrad = zeros(numClasses, inputSize);

%% ---------- YOUR CODE HERE --------------------------------------
%  Instructions: Compute the cost and gradient for softmax regression.
%                You need to compute thetagrad and cost.
%                The groundTruth matrix might come in handy.
cost = 0;
z = theta*data;
z = z - max(max(z)); % avoid overflow while keep p unchanged.
z = exp(z); % matrix product: numClasses×numCases
p = z./repmat(sum(z,1),numClasses,1); % normalize the probbility aganist numClasses. numClasses×numCases
cost = -mean(sum(groundTruth.*log(p), 1)) + sum(sum(theta.*theta)).*(lambda/2);

thetagrad = -(groundTruth - p)*(data')./numCases + theta.*lambda; % numClasses×inputSize

% Unroll the gradient matrices into a vector for minFunc
grad = thetagrad(:);
end

另外一部分需要稍动脑筋的是预测判断。怎样写的简捷高效呢？请看下文.

function [pred] = softmaxPredict(softmaxModel, data)
theta = softmaxModel.optTheta;  % this provides a numClasses x inputSize matrix
pred = zeros(1, size(data, 2));

inputSize = softmaxModel.inputSize;
numClasses=  softmaxModel.numClasses;

%% ---------- YOUR CODE HERE --------------------------------------
z=exp(theta*data);
[~, pred] = max(z);
end

关键在于使用matlab的max函数第二个返回值，它就是每列最大值的行号。

4. 图示与结果

数据集来自Yann Lecun的笔迹数据库，我们先瞜一眼原始MMIST数据集的笔迹。

UFLDL深度学习笔记（二）SoftMax 回归(矩阵化推导)

设定与练习说明相同的参数，运行完整代码https://github.com/codgeek/deeplearning 可以看到预测准确率达到92.6%。达到了练习的标准结果。

UFLDL深度学习笔记（二）SoftMax 回归(矩阵化推导)

小结一下，看到梯度、矩阵化推导过程不难发现，一般都是先从对矩阵单个元素的偏导开始，给出表达式，然后把每个元素列举成行成列，根据行、列计算的关系，往矩阵乘法的“乘加”模式上套用，最终给出非常精简的矩阵化公式，矩阵只是一个规范化工具，难以直接在矩阵的抽象层次上推导，也很容易把一些在矩阵上不成立的直觉公式用上去而出错，所以现阶段还是一个从抽象到具体再到抽象的过程。

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