本文分析了激活函数对于神经网络的必要性，同时讲解了几种常见的激活函数的原理，并给出相关公式、代码和示例图。

激活函数概述

前言

人工神经元(Artificial Neuron)，简称神经元(Neuron)，是构成神经网络的基本单元，其主要是模拟生物神经元的结构和特性，接收一组输入信号并产生输出。生物神经元与人工神经元的对比图如下所示。

neuron

从机器学习的角度来看，神经网络其实就是一个非线性模型，其基本组成单元为具有非线性激活函数的神经元，通过大量神经元之间的连接，使得多层神经网络成为一种高度非线性的模型。神经元之间的连接权重就是需要学习的参数，其可以在机器学习的框架下通过梯度下降方法来进行学习。

激活函数定义

激活函数（也称“非线性映射函数”），是深度卷积神经网络模型中必不可少的网络层。

假设一个神经元接收 \(D\) 个输入 \(x_1, x_2,⋯, x_D\)，令向量 \(x = [x_1;x_2;⋯;x_?]\) 来表示这组输入，并用净输入(Net Input) \(z \in \mathbb{R}\) 表示一个神经元所获得的输入信号 \(x\) 的加权和:

\[z = \sum_{d=1}^{D} w_{d}x_{d} + b = w^\top x + b
\]

其中 \(w = [w_1;w_2;⋯;w_?]\in \mathbb{R}^D\) 是 \(D\) 维的权重矩阵，\(b \in \mathbb{R}\) 是偏置向量。

以上公式其实就是带有偏置项的线性变换（类似于放射变换），本质上还是属于线形模型。为了转换成非线性模型，我们在净输入 \(z\) 后添加一个非线性函数 \(f\)（即激活函数）。

\[a = f(z)
\]

由此，典型的神经元结构如下所示:
典型的神经元架构

激活函数性质

为了增强网络的表示能力和学习能力，激活函数需要具备以下几点性质:

  1. 连续并可导(允许少数点上不可导)的非线性函数。可导的激活函数 可以直接利用数值优化的方法来学习网络参数。
  2. 激活函数及其导函数要尽可能的简单，有利于提高网络计算效率。
  3. 激活函数的导函数的值域要在一个合适的区间内，不能太大也不能太小，否则会影响训练的效率和稳定性.

Sigmoid 型函数

Sigmoid 型函数是指一类 S 型曲线函数，为两端饱和函数。常用的 Sigmoid 型函数有 Logistic 函数和 Tanh 函数。

相关数学知识: 对于函数 \(f(x)\)，若 \(x \to −\infty\) 时，其导数 \({f}'\to 0\)，则称其为左饱和。若 \(x \to +\infty\) 时，其导数 \({f}'\to 0\)，则称其为右饱和。当同时满足左、右饱和时，就称为两端饱和。

Sigmoid 函数

对于一个定义域在 \(\mathbb{R}\) 中的输入，sigmoid 函数将输入变换为区间 (0, 1) 上的输出（sigmoid 函数常记作 \(\sigma(x)\)）:

\[\sigma(x) = \frac{1}{1 + exp(-x)}
\]

sigmoid 函数的导数公式如下所示:

\[\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\text{sigmoid}(x) = \frac{exp(-x)}{(1+exp(-x))^2} = \text{sigmoid}(x)(1 - \text{sigmoid}(x))
\]

sigmoid 函数及其导数图像如下所示:

sigmoid 函数及其导数图像

注意，当输入为 0 时，sigmoid 函数的导数达到最大值 0.25; 而输入在任一方向上越远离 0 点时，导数越接近 0。

sigmoid 函数在隐藏层中已经较少使用，其被更简单、更容易训练的 ReLU 激活函数所替代。

当我们想要输出二分类或多分类、多标签问题的概率时，sigmoid 可用作模型最后一层的激活函数。下表总结了常见问题类型的最后一层激活和损失函数。

问题类型 最后一层激活 损失函数
二分类问题（binary） sigmoid sigmoid + nn.BCELoss(): 模型最后一层需要经过 torch.sigmoid 函数
多分类、单标签问题（Multiclass） softmax nn.CrossEntropyLoss(): 无需手动做 softmax
多分类、多标签问题（Multilabel） sigmoid sigmoid + nn.BCELoss(): 模型最后一层需要经过 sigmoid 函数

nn.BCEWithLogitsLoss() 函数等效于 sigmoid + nn.BCELoss。

Tanh 函数

Tanh（双曲正切）函数也是一种 Sigmoid 型函数，可以看作放大并平移 Sigmoid 函数，其能将其输入压缩转换到区间 (-1, 1) 上。公式如下所示：

\[\text{tanh}(x) = 2\sigma(2x) - 1
\]

Sigmoid 函数和 Tanh 函数曲线如下图所示:

Logistic函数和Tanh函数

两种激活函数实现和可视化代码如下所示:

# example plot for the sigmoid activation function
from math import exp
from matplotlib import pyplot
import matplotlib.pyplot as plt

# sigmoid activation function
def sigmoid(x):
    """1.0 / (1.0 + exp(-x))
    """
    return 1.0 / (1.0 + exp(-x))

def tanh(x):
    """2 * sigmoid(2*x) - 1
    (e^x – e^-x) / (e^x + e^-x)
    """
    # return (exp(x) - exp(-x)) / (exp(x) + exp(-x))
    return 2 * sigmoid(2*x) - 1

def relu(x):
    return max(0, x)

def gradient_relu(x):
    if x < 0:
        return 0
    else:
        return 1

def gradient_sigmoid(x):
    """sigmoid(x)(1−sigmoid(x))
    """
    a = sigmoid(x)
    b = 1 - a
    return a*b

# 1, define input data
inputs = [x for x in range(-10, 11)]

# 2, calculate outputs
outputs = [sigmoid(x) for x in inputs]
outputs2 = [tanh(x) for x in inputs]

# 3, plot sigmoid and tanh function curve
plt.figure(dpi=90) # dpi 设置
plt.style.use('ggplot') # 主题设置

plt.subplot(1, 2, 1) # 绘制子图
plt.plot(inputs, outputs, label='sigmoid')
plt.plot(inputs, outputs2, label='tanh')


plt.xlabel("x") # 设置 x 轴标签
plt.ylabel("y")
plt.title('sigmoid and tanh') # 折线图标题
plt.legend()
plt.show()

另外一种 Logistic 函数和 Tanh 函数的形状对比图:

Logistic 函数和 Tanh 函数的形状

来源: 《神经网络与深度学习》图4.2。

Logistic 函数和 Tanh 函数都是 Sigmoid 型函数，具有饱和性，但是计算开销较大。因为这两个函数都是在中间(0 附近)近似线性，两端饱和。因此，这两个函数可以通过分段函数来近似。

ReLU 函数及其变体

ReLU 函数

ReLU(Rectified Linear Unit，修正线性单元)，是目前深度神经网络中最经常使用的激活函数。公式如下所示:

\[ReLU(x) = max\{0,x\} = \left\{\begin{matrix}
x & x\geqslant 0 \\
0 & x< 0
\end{matrix}\right.\]

以上公式通俗理解就是，ReLU 函数仅保留正元素并丢弃所有负元素。

1，优点:

  • ReLU 激活函数计算简单；
  • 具有很好的稀疏性，大约 50% 的神经元会处于激活状态。
  • 函数在 \(x > 0\) 时导数为 1 的性质（左饱和函数），在一定程度上缓解了神经网络的梯度消失问题，加速梯度下降的收敛速度。

相关生物知识: 人脑中在同一时刻大概只有 1% ∼ 4% 的神经元处于活跃 状态。

2，缺点:

  • ReLU 函数的输出是非零中心化的，给后一层的神经网络引入偏置偏移，会影响梯度下降的效率。
  • ReLU 神经元在训练时比较容易“死亡”。如果神经元参数值在一次不恰当的更新后，其值小于 0，那么这个神经元自身参数的梯度永远都会是 0，在以后的训练过程中永远不能被激活，这种现象被称作“死区”。

ReLU 激活函数的代码定义如下:

# pytorch 框架对应函数： nn.ReLU(inplace=True)
def relu(x):
    return max(0, x)

ReLU 激活函数及其函数梯度图如下所示:

relu_and_gradient_curve

Leaky ReLU/PReLU/ELU/Softplus 函数

1，Leaky ReLU 函数: 为了缓解“死区”现象，研究者将 ReLU 函数中 \(x < 0\) 的部分调整为 \(\gamma \cdot x\)， 其中 \(\gamma\) 常设置为 0.01 或 0.001 数量级的较小正数。这种新型的激活函数被称作带泄露的 ReLU(Leaky ReLU)。

\[\text{Leaky ReLU}(x) = max(0, ?) + \gamma\ min(0, x)
= \left\{\begin{matrix}
x & x\geqslant 0 \\
\gamma \cdot x & x< 0
\end{matrix}\right.
\]

2，PReLU 函数: 为了解决 Leaky ReLU 中超参数 \(\gamma\) 不易设定的问题，有研究者提出了参数化 ReLU(Parametric ReLU，PReLU)。参数化 ReLU 直接将 \(\gamma\) 也作为一个网络中可学习的变量融入模型的整体训练过程。对于第 \(i\) 个神经元，PReLU 的 定义为:

\[\text{Leaky ReLU}(x) = max(0, ?) + \gamma_{i}\ min(0, x)
= \left\{\begin{matrix}
x & x\geqslant 0 \\
\gamma_{i} \cdot x & x< 0
\end{matrix}\right.
\]

3，ELU 函数: 2016 年，Clevert 等人提出了 ELU(Exponential Linear Unit，指数线性单元)，它是一个近似的零中心化的非线性函数。ELU 具备 ReLU 函数的优点，同时也解决了 ReLU 函数的“死区”问题，但是，其指数操作也增加了计算量。 \(\gamma ≥ 0\) 是一个超参数，决定 \(x ≤ 0\) 时的饱和曲线，并调整输出均值在 0 附近。ELU 定义为:

\[\text{Leaky ReLU}(x) = max(0, ?) + min(0, \gamma(exp(x) - 1)
= \left\{\begin{matrix}
x & x\geqslant 0 \\
\gamma(exp(x) - 1) & x< 0
\end{matrix}\right.
\]

4，Softplus 函数: Softplus 函数其导数刚好是 Logistic 函数.Softplus 函数虽然也具有单侧抑制、宽 兴奋边界的特性，却没有稀疏激活性。Softplus 定义为:

\[\text{Softplus}(x) = log(1 + exp(x))
\]

注意: ReLU 函数变体有很多，但是实际模型当中使用最多的还是 ReLU 函数本身。

ReLU、Leaky ReLU、ELU 以及 Softplus 函数示意图如下图所示:

relu_more

Swish 函数

Swish 函数[Ramachandran et al., 2017] 是一种自门控(Self-Gated)激活 函数，定义为

\[\text{swish}(x) = x\sigma(\beta x)
\]

其中 \(\sigma(\cdot)\) 为 Logistic 函数，\(\beta\) 为可学习的参数或一个固定超参数。\(\sigma(\cdot) \in (0, 1)\) 可以看作一种软性的门控机制。当 \(\sigma(\beta x)\) 接近于 1 时，门处于“开”状态，激活函数的输出近似于 \(x\) 本身；当 \(\sigma(\beta x)\) 接近于 0 时，门的状态为“关”，激活函数的输出近似于 0。

Swish 函数代码定义如下，结合前面的画曲线代码，可得 Swish 函数的示例图。

def swish(x, beta = 0):
    """beta 是需要手动设置的参数"""
    return x * sigmoid(beta*x)

Swish 函数

Swish 函数可以看作线性函数和 ReLU 函数之间的非线性插值函数，其程度由参数 \(\beta\) 控制。

激活函数总结

常用的激活函数包括 ReLU 函数、sigmoid 函数和 tanh 函数。下表汇总比较了几个激活函数的属性:

activation_function

参考资料

  1. Pytorch分类问题中的交叉熵损失函数使用
  2. 《解析卷积神经网络-第8章》
  3. How to Choose an Activation Function for Deep Learning