浅谈matplotlib 绘制梯度下降求解过程

1. 简介

在机器学习中，梯度下降算法是十分常用的优化算法。在使用梯度下降算法时，我们通常会关注到每一步的变化过程，以便更好地理解算法的表现及收敛速度。因此，使用matplotlib可视化梯度下降过程十分有助于我们理解算法。

2. 绘制梯度下降过程

在Python中，我们可以使用matplotlib库绘制梯度下降过程的图形。下面给出一个最简单的例子，便于初学者了解如何使用matplotlib进行绘图。

首先，我们定义一个能量函数，如下所示：

import numpy as np

def energy(x, y):
    return x ** 2 + y ** 2

接着，我们定义梯度下降算法：

def gradient_descent(energy, start, learn_rate, threshold, max_iters):
    x = np.array(start, dtype=np.float32)
    energy_list = [energy(*x)]
    for i in range(max_iters):
        grad = np.gradient(energy(*x))
        x -= learn_rate * grad
        energy_list.append(energy(*x))
        if energy_list[-2] - energy_list[-1] < threshold:
            break
    return x, energy_list

在这里，我们使用numpy库计算梯度，以加快计算速度。

最后，我们使用matplotlib绘制梯度下降过程的图像：

import matplotlib.pyplot as plt

start = [3, 4]
learn_rate = 0.1
threshold = 1e-5
max_iters = 100

x, energy_list = gradient_descent(energy, start, learn_rate, threshold, max_iters)
plt.plot(energy_list)
plt.xlabel('Iterations')
plt.ylabel('Energy')
plt.title('Gradient Descent')
plt.show()

运行上述代码，便可以得到一张能量随迭代次数变化的图像。

3. 更加复杂的例子

对于更加复杂的梯度下降过程，我们可以使用更加复杂的能量函数。例如，我们可以使用Rosenbrock函数：

def rosenbrock(x, y):
    return (1 - x) ** 2 + 100 * (y - x ** 2) ** 2

此时我们需要将绘图的横坐标改为迭代次数：

x, energy_list = gradient_descent(rosenbrock, start, learn_rate, threshold, max_iters)
plt.plot(energy_list)
plt.xlabel('Iterations')
plt.ylabel('Energy')
plt.title('Gradient Descent')
plt.show()

运行上述代码，便可以得到一张Rosenbrock函数随迭代次数变化的图像。

除了绘制能量随迭代次数变化的图像外，我们还可以绘制每次迭代中，梯度方向的变化。例如：

def plot_gradient(x, energy, grad, i):
    fig, ax = plt.subplots()
    ax.set_xlim([-5, 5])
    ax.set_ylim([-5, 5])
    ax.contourf(xx, yy, Z, 100)
    ax.arrow(*x, *grad, head_width=0.2, head_length=0.3, fc='k', ec='k')
    ax.scatter(*x, s=30, marker='o', color='r')
    ax.set_title(f"Gradient Descent ({i} Iterations, Energy: {energy:.2f})")
    plt.show()

def gradient_descent_v2(energy, start, learn_rate, threshold, max_iters):
    x = np.array(start, dtype=np.float32)
    energy_list = [energy(*x)]
    for i in range(max_iters):
        grad = np.gradient(energy(*x))
        x -= learn_rate * grad
        energy_list.append(energy(*x))
        if energy_list[-2] - energy_list[-1] < threshold:
            break
        plot_gradient(x, energy(*x), grad, i+1)
    return x, energy_list

运行上述代码，便可以得到一系列梯度变化的图像，这有助于我们更好地理解梯度下降算法的执行过程。

4. 总结

本文介绍了如何使用matplotlib绘制梯度下降过程的图像。通过设置不同的能量函数，我们可以更好地理解梯度下降算法在不同情况下的表现。同时，通过绘制每次迭代中，梯度方向的变化，我们可以更加直观地了解算法的执行过程。