Python基于递归解决背包问题详解

背景介绍

背包问题是指在给定容量和一系列物品的情况下，选择一些物品装入背包使其价值最高或重量最轻。该问题的解法应该是在不超过背包容量的情况下，使得背包中物品总价值最大。

例如，有一个容量为10kg的背包，其中有以下三种物品：

物品	重量（kg）	价值（元）
物品1	2	6
物品2	2	3
物品3	6	5

如何选择物品放入背包，可以使背包的总价值最大？这就是经典背包问题。

基于递归的解法

背包问题可以通过递归来实现，具体的思路是首先对于每个物品进行选择或不选择，生成一棵选择树，随后根据每个节点所代表的选择情况来更新已经放入背包的物品以及当前背包的总价值和剩余容量。最终通过比较所有叶子节点的背包价值，找到价值最大的那一个。

下面是Python实现基于递归解决背包问题的详细代码步骤：

1. 定义递归函数，函数参数包括物品列表、剩余容量、当前背包价值以及已选物品列表。

python
def bag(items, rest, value, selected):
pass

1. 判断递归结束条件。如果物品列表为空或剩余容量小于任何一个物品的重量，则递归结束，返回当前的背包总价值和已选物品列表。

python
if not items or rest < min(item[0] for item in items):
return value, selected

1. 选择当前物品、更新已选物品列表，更新背包价值和剩余容量，进行递归。返回递归结果集以备后续比较使用。需要注意的是，在递归过程中需要将已选物品列表进行深拷贝并传递进入下一层递归。

python
rest_current = rest - items[0][0]
selected_current = selected.copy()
selected_current.append(items[0][1])
value_current, selected_current = bag(items[1:], rest_current, value + items[0][1], selected_current)

1. 不选择当前物品、更新已选物品列表，进行递归。返回递归结果集以备后续比较使用。需要注意的是，在递归过程中需要将已选物品列表进行深拷贝并传递进入下一层递归。

python
value_next, selected_next = bag(items[1:], rest, value, selected.copy())

1. 比较和返回两种选择所获得的背包价值和已选物品列表中价值更高的那一个。

python
if value_current > value_next:
return value_current, selected_current
else:
return value_next, selected_next

示例说明

示例一

假设物品数据如下：

items = [(2, 6), (2, 3), (6, 5)]
rest = 10
value, selected = bag(items, rest, 0, [])

对物品的列表进行递归调用，求得最优解。返回结果如下：

print(value)     # 11
print(selected)  # [6, 5]

可以发现，在容量为10的背包中，可以放入物品1和物品2，总重量为4kg，总价值为11元，即为最优解。

示例二

假设物品数据如下：

items = [(4, 3), (6, 4), (12, 8), (7, 6), (8, 7)]
rest = 20
value, selected = bag(items, rest, 0, [])

对物品的列表进行递归调用，求得最优解。返回结果如下：

print(value)     # 18
print(selected)  # [3, 8, 7]

可以发现，在容量为20的背包中，可以放入物品1、物品2和物品4，总重量为16kg，总价值为18元，即为最优解。