最大似然估计 MLE

给定一堆数据,假如我们知道它是从某一种分布中随机取出来的,可是我们并不知道这个分布具体的参,即“模型已定,参数未知”。

例如,对于线性回归,我们假定样本是服从正态分布,但是不知道均值和方差;或者对于逻辑回归,我们假定样本是服从二项分布,但是不知道均值,逻辑回归公式得到的是因变量y的概率P = g(x), x为自变量,通过逻辑函数得到一个概率值,y对应离散值为0或者1,Y服从二项分布,误差项服从二项分布,而非高斯分布,所以不能用最小二乘进行模型参数估计,可以用极大似然估计来进行参数估计; 因此最大似然估计(MLE,Maximum Likelihood Estimation)就可以用来估计模型的参数。MLE的目标是找出一组参数,使得模型产生出观测数据的概率最大:

最大似然估计 (MLE)与 最大后验概率(MAP)在机器学习中的应用

其中最大似然估计 (MLE)与 最大后验概率(MAP)在机器学习中的应用就是似然函数,表示在参数最大似然估计 (MLE)与 最大后验概率(MAP)在机器学习中的应用下出现观测数据的概率。我们假设每个观测数据是独立的,那么有

最大似然估计 (MLE)与 最大后验概率(MAP)在机器学习中的应用

为了求导方便,一般对目标取log。 所以最优化对似然函数等同于最优化对数似然函数:

最大似然估计 (MLE)与 最大后验概率(MAP)在机器学习中的应用

举一个抛硬币的简单例子。 现在有一个正反面不是很匀称的硬币,如果正面朝上记为H,方面朝上记为T,抛10次的结果如下:

最大似然估计 (MLE)与 最大后验概率(MAP)在机器学习中的应用

求这个硬币正面朝上的概率有多大?

很显然这个概率是0.2。现在我们用MLE的思想去求解它。我们知道每次抛硬币都是一次二项分布,设正面朝上的概率是最大似然估计 (MLE)与 最大后验概率(MAP)在机器学习中的应用,那么似然函数为:

最大似然估计 (MLE)与 最大后验概率(MAP)在机器学习中的应用

x=1表示正面朝上,x=0表示方面朝上。那么有:

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求导:

最大似然估计 (MLE)与 最大后验概率(MAP)在机器学习中的应用

令导数为0,很容易得到:

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也就是0.2 。

 

 

 最大后验概率  MAP

以上MLE求的是找出一组能够使似然函数最大的参数,即最大似然估计 (MLE)与 最大后验概率(MAP)在机器学习中的应用。 现在问题稍微复杂一点点,假如这个参数最大似然估计 (MLE)与 最大后验概率(MAP)在机器学习中的应用有一个先验概率呢?比如说,在上面抛硬币的例子,假如我们的经验告诉我们,硬币一般都是匀称的,也就是最大似然估计 (MLE)与 最大后验概率(MAP)在机器学习中的应用=0.5的可能性最大,最大似然估计 (MLE)与 最大后验概率(MAP)在机器学习中的应用=0.2的可能性比较小,那么参数该怎么估计呢?这就是MAP要考虑的问题。 MAP优化的是一个后验概率,即给定了观测值后使最大似然估计 (MLE)与 最大后验概率(MAP)在机器学习中的应用概率最大:

最大似然估计 (MLE)与 最大后验概率(MAP)在机器学习中的应用

把上式根据贝叶斯公式展开:

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我们可以看出第一项最大似然估计 (MLE)与 最大后验概率(MAP)在机器学习中的应用就是似然函数,第二项最大似然估计 (MLE)与 最大后验概率(MAP)在机器学习中的应用就是参数的先验知识。取log之后就是:

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回到刚才的抛硬币例子,假设参数最大似然估计 (MLE)与 最大后验概率(MAP)在机器学习中的应用有一个先验估计,它服从Beta分布,即:

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而每次抛硬币任然服从二项分布:

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那么,目标函数的导数为:

最大似然估计 (MLE)与 最大后验概率(MAP)在机器学习中的应用

求导的第一项已经在上面MLE中给出了,第二项为:

最大似然估计 (MLE)与 最大后验概率(MAP)在机器学习中的应用

令导数为0,求解为:

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其中,最大似然估计 (MLE)与 最大后验概率(MAP)在机器学习中的应用表示正面朝上的次数。这里看以看出,MLE与MAP的不同之处在于,MAP的结果多了一些先验分布的参数。

 

补充知识: Beta分布

Beat分布是一种常见的先验分布,它形状由两个参数控制,定义域为[0,1]

最大似然估计 (MLE)与 最大后验概率(MAP)在机器学习中的应用

Beta分布的最大值是x等于最大似然估计 (MLE)与 最大后验概率(MAP)在机器学习中的应用的时候:

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所以在抛硬币中,如果先验知识是说硬币是匀称的,那么就让最大似然估计 (MLE)与 最大后验概率(MAP)在机器学习中的应用。 但是很显然即使它们相等,它两的值也对最终结果很有影响。它两的值越大,表示偏离匀称的可能性越小:

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