从L1 loss到EIoU loss，目标检测边框回归的损失函数一览
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目标检测任务的损失函数由Classificition Loss和BBox Regeression Loss两部分构成。本文介绍目标检测任务中近几年来Bounding Box Regression Loss Function的演进过程。
其演进路线是 Smooth L1 Loss 
IoU Loss GIoU Loss DIoU Loss CIoU Loss EIoU Loss，本文按照此路线进行讲解。
L1/L2 Loss
L1/L2 Loss 的定义
此前回归一般采用 
Loss，定义如下：
L1/L2 Loss 的缺点
但是这两者存在一些缺点：
-
L1 Loss 对 x 的导数为常数，由于 x 代表真实值与预测值的差值，故在训练后期，x 很小时，如果学习率不变，损失函数会在稳定值附近波动，难以收敛到更高精度；
-
L2 Loss 在 x 值很大时，其导数非常大，故在训练初期不稳定。
Smooth L1 Loss
Smooth L1 Loss 的定义
针对 
Loss 存在的缺点，修正后得到 [1]：
在 x 较小时为 L2 Loss，在 x 较大时为 L1 Loss，扬长避短。应用在目标检测的边框回归中，位置损失如下所示：
其中 
表示 bbox 位置的真实值， 表示 bbox 位置回归的预测值。
Smooth L1 Loss 的缺点
-
在计算目标检测的 bbox loss时，都是独立的求出4个点的 loss，然后相加得到最终的 bbox loss。这种做法的默认4个点是相互独立的，与实际不符。举个例子，当(x, y)为右下角时，w h其实只能取0; -
目标检测的评价 bbox 的指标是 IoU，IoU 与
的变化不匹配。
IoU Loss
IoU Loss 的定义
针对 
Loss 的缺点，IoU Loss[2]如下：
实现时甚至简化为：
IoU 计算让 x, y, w, h 相互关联，同时具备了尺度不变性，克服了 
Loss 的缺点。
IoU Loss 的缺点
当然 IoU Loss 也并不完美：
-
当预测框和目标框不相交，即 IoU(bbox1, bbox2)=0 时，不能反映两个框距离的远近，此时损失函数不可导，IoU Loss 无法优化两个框不相交的情况。
-
假设预测框和目标框的大小都确定，只要两个框的相交值是确定的，其 IoU 值是相同时，IoU 值不能反映两个框是如何相交的，如图所示：
灰色框为真实框，虚线框为预测框。这两者情况的IoU相同，但是这两个框的匹配状态不一样。我们认为右边框匹配的好一点，因为它匹配的角度更好。故下文定义了GIoU。
GIoU Loss
GIoU 的定义
承接上一小节提到的情况，IoU 不能区分一些相交的情况，故论文[3]提出GIoU作为度量指标。
GIoU 的实现方式如上式，其中 C 为 A 和 B 的外接矩形。用 C 减去 A 和 B 的并集除以 C 得到一个数值，然后再用 A 和 B 的 IoU 减去这个数值即可得到 GIoU 的值。可以看出：
-
GIoU 取值范围为 [-1, 1]，在两框重合时取最大值1，在两框无限远的时候取最小值-1；
-
与 IoU 只关注重叠区域不同，GIoU不仅关注重叠区域，还关注其他的非重合区域，能更好的反映两者的重合度。
GIoU Loss 的定义
定义了 GIoU 之后，按照 IoU Loss 的思路定义 GIoU Loss：
GIoU Loss 的缺点
当目标框完全包裹预测框的时候，IoU 和 GIoU 的值都一样，此时 GIoU 退化为 IoU, 无法区分其相对位置关系。
灰色框为真实框，绿色为预测框，上图三种情况GIoU均相同，但是我们认为中间的预测框应该由于另外两个框。
DIoU Loss
DIoU 的定义
针对 IoU和GIoU 的缺点，论文[4]总结提出了边框回归的三个重要几何因素：重叠面积、中心点距离和长宽比，提出 DIoU和CIoU，本节先介绍 DIoU。
首先，论文[^ 4]总结了 IoU-based loss 的范式：
表示预测框与真实框的惩罚项，将惩罚项设置为：
其中 
表示框的中心点， 表示欧氏距离，c 表示最小外接矩形的对角线距离，故 DIoU 如下所示：
DIoU 就是在 IoU 基础上加入中心点归一化距离，所以可以更好地表达两个框的距离。同时，文章利用 DIoU 距离，设计了 DIoU-nms。
DIoU Loss 的定义
根据范式，DIoU Loss：
DIoU Loss 的缺点
边框回归的三个重要几何因素：重叠面积、中心点距离和长宽比，DIoU 没有包含长宽比因素。
CIoU Loss
CIoU 的定义
CIoU[^ 4] 在 DIoU 的基础上，增加了长宽比影响因子 
，合并到惩罚项：
其中 v 用于衡量长宽比的一致性， 
用于平衡 v 的值，设为：
CIoU Loss 的定义
v的导数：
CIoU Loss 的缺点
在CIoU的定义中，衡量长宽比的$v$过于复杂，从两个方面减缓了收敛速度：
-
长宽比不能取代单独的长宽，比如
都会导致v=0； -
从v的导数可以得到
，这说明 
和 
在优化中意义相反。
EIoU Loss
EIoU 的定义
论文[5]用 
取代 即可。
EIoU Loss的定义
Focal-EIoU Loss的定义
focal loss可以理解为对损失加权，常见的分类focal loss为 
。本文首先尝试直接将EIoU带入，但是效果不好，最后得到：
Conclusion
总的来看，我认为目标检测边框回归的损失函数设计应当遵循以下原则：
-
应该按照边框的物理含义定义边框间的距离，以设计损失函数。从
到 
，对边框间距离的物理描述愈发准确。 -
注意算法各个模块之间的配合，比如 DIoU 与 DIoU-nms 组合才能达到更好的效果。
参考资料：
[1]^Girshick R. Fast r-cnn[C]//Proceedings of the IEEE international conference on computer vision. 2015: 1440-1448.
[2]^Yu J, Jiang Y, Wang Z, et al. Unitbox: An advanced object detection network[C]//Proceedings of the 24th ACM international conference on Multimedia. 2016: 516-520.
[3]^Rezatofighi H, Tsoi N, Gwak J Y, et al. Generalized intersection over union: A metric and a loss for bounding box regression[C]//Proceedings of the IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition. 2019: 658-666.
[4]^Zheng Z, Wang P, Liu W, et al. Distance-IoU Loss: Faster and Better Learning for Bounding Box Regression[J]. arXiv preprint arXiv:1911.08287, 2019.
[5]^Focal and Efficient IOU Loss for Accurate Bounding Box Regression
END
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