问题描述：

　　给定线性可分数据集：T={(x1,y1),(x2,y2),...,(xN,yN)}，存在超平面S：$w\cdot x+b=0$

$ \left\{\begin{matrix} w\cdot x+b>0,y=+1\\  w\cdot x+b<0,y=-1 \end{matrix}\right. $

 

学习策略：

　　定义点x0到超平面S的距离为：

　　$\frac{1}{\left \| w \right \|}\left | w \cdot x +b \right |$

　　对于误分类的数据$(x_{i},y_{i})$来说，$-y_{i}(w \cdot x_{i}+b)>0$

　　因此误分类点$x_{i}$到超平面S的距离时：$-\frac{1}{\left \| w \right \|} y_{i}(w \cdot x_{i}+b)$

　　假设超平面S的误分类点集合为M,那么所有误分类点到超平面S的总距离为：

$- \frac{1}{\left \| w \right \|}\sum_{x_{i}\in M}y_{i}(w \cdot x_{i}+b)$

　　不考虑$\frac{1}{\left \| w \right \|}$ ，就得到感知机学习的损失函数。

　　定义损失函数为： $L(w,b)=-\sum_{x_{i} \in M}y_{i}(w \cdot x_{i}+b)$,其中M为误分类点的集合。

　　最小化损失函数：$\min_{w,b}L(w,b\displaystyle )=L(w,b)=-\sum_{x_{i} \in M}y_{i}(w \cdot x_{i}+b)$

　　使用梯度下降法求解：梯度分别为

　　$\bigtriangledown _wL(w,b)=-\sum_{x{i} \in M}y_{i}x_{i}$

　　$\bigtriangledown _bL(w,b)=-\sum_{x_{i} \in M}y_{i}$

　　随机选取一个误分类点$(x_{i},y_{i})$，对w，b进行更新：

　　$w\leftarrow w+\eta y_{i}x_{i}$
　　$b \leftarrow b+ \eta y_{i}$

　　其中$\eta$成为步长，即学习率（learning rate）

　

感知机学习算法的原始形式：

　　输入：训练数据集$T = \left \{  (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),\cdots ,(x_{N},y_{N})  \right \} $

　　输出：w，b;感知机模型$f(x)=sign(w \cdot x +b)$.

　　(1) 选取初始值$w_{0},b_{0}$

　　(2) 在训练集中选取数据$(x_{i},y_{i})$

　　(3) 如果$y_{i}(w \cdot x_{i} +b) \leqslant  0$

　　　　　　　　　　　　$w \leftarrow w + \eta y_{i}x_{i}$

　　　　　　　　　　　　$b \leftarrow b + \eta y_{i}$

　　(4) 转至（2），直到训练集中没有误分类的点

 

感知机学习算法的对偶形式：

　　基本思想：将w和b表示为实例$x_{i}$和标记$y_{i}$的线性组合的形式，通过求解其系数而求得w和b。假设初始值$w_{0}$，$b_{0}$均为0。对误分类点$(x_{i},y_{i})$通过

$w\leftarrow w+ \eta y_{i}x_{i}$

$b \leftarrow b+ \eta y_{i}$

逐步修改w，b，设修改n次，则w，b关于$(x_{i},y_{i})$的增量分别为$\alpha_{i}y_{i}x_{i}$和$\alpha_{i} y_{i}$，这里

$\alpha_{i}=n_{i}\eta$。最后学习到的w，b可以表示为：

$w=\sum_{i=1}^{N}\alpha_{i}y_{i}x_{i}$

$b=\sum_{i=1}^{N}\alpha_{i}y_{i}$

这里，$\alpha_{i}\geqslant 0,i=1,2,...,N$ ，当$\eta=1$时，表示第i个实例点由于误分而更新的次数。实例点更新的次数越多，意味着它距离超平面越近，也就是越难正确分类。

　　算法描述：

　　输入：训练数据集$T = \left \{  (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),\cdots ,(x_{N},y_{N})  \right \} $

　　输出：$\alpha$，b;感知机模型$f(x)=sign(\sum_{j=1}^{N}\alpha_{j}y_{j}x_{j}\cdot x+b)$。其中

　　$\alpha=(\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{N})^{T}$。

　　（1） $\alpha \leftarrow 0,b \leftarrow 0$

　　（2） 在训练集中选取数据$(x_{i},y_{i})$

　　（3） 如果$ y_{i}(\sum_{j=1}^{N}\alpha_{j}y_{j}x_{j} \cdot x_{i}+b) \leqslant 0 $

$\alpha_{i} \leftarrow \alpha_{i}+ \eta$

$b \leftarrow b+ \eta y_{i}$

　　（4） 转到（2）直到没有误分类数据。