机器学习之线性回归—logistic回归—softmax回归

在本节中，我们介绍Softmax回归模型，该模型是logistic回归模型在多分类问题上的推广，在多分类问题中，类标签 可以取两个以上的值。 Softmax回归模型对于诸如MNIST手写数字分类等问题是很有用的，该问题的目的是辨识10个不同的单个数字。Softmax回归是有监督的，不过后面也会介绍它与深度学习/无监督学习方法的结合。（译者注： MNIST 是一个手写数字识别库，由NYU 的Yann LeCun 等人维护。http://yann.lecun.com/exdb/mnist/ ）

回想一下在 logistic 回归中，我们的训练集由 个已标记的样本构成： ，其中输入特征。（我们对符号的约定如下：特征向量 的维度为 ，其中 对应截距项 。） 由于 logistic 回归是针对二分类问题的，因此类标记 。假设函数(hypothesis function) 如下：

我们将训练模型参数 ，使其能够最小化代价函数 ：

在 softmax回归中，我们解决的是多分类问题（相对于 logistic 回归解决的二分类问题），类标 可以取 个不同的值（而不是 2 个）。因此，对于训练集 ，我们有 。（注意此处的类别下标从 1 开始，而不是 0）。例如，在 MNIST 数字识别任务中，我们有 个不同的类别。

对于给定的测试输入 ，我们想用假设函数针对每一个类别j估算出概率值 。也就是说，我们想估计 的每一种分类结果出现的概率。因此，我们的假设函数将要输出一个 维的向量（向量元素的和为1）来表示这 个估计的概率值。 具体地说，我们的假设函数 形式如下：

其中 是模型的参数。请注意 这一项对概率分布进行归一化，使得所有概率之和为 1 。

为了方便起见，我们同样使用符号 来表示全部的模型参数。在实现Softmax回归时，将 用一个 的矩阵来表示会很方便，该矩阵是将 按行罗列起来得到的，如下所示：

代价函数

现在我们来介绍 softmax 回归算法的代价函数。在下面的公式中， 是示性函数，其取值规则为：

 值为真的表达式 

， 值为假的表达式 。举例来说，表达式 的值为1 ，的值为 0。我们的代价函数为：

值得注意的是，上述公式是logistic回归代价函数的推广。logistic回归代价函数可以改为：

可以看到，Softmax代价函数与logistic 代价函数在形式上非常类似，只是在Softmax损失函数中对类标记的 个可能值进行了累加。注意在Softmax回归中将 分类为类别 的概率为：

.

对于 的最小化问题，目前还没有闭式解法。因此，我们使用迭代的优化算法（例如梯度下降法，或 L-BFGS）。经过求导，我们得到梯度公式如下：

让我们来回顾一下符号 "" 的含义。 本身是一个向量，它的第 个元素 是 对 的第 个分量的偏导数。

有了上面的偏导数公式以后，我们就可以将它代入到梯度下降法等算法中，来最小化 。 例如，在梯度下降法的标准实现中，每一次迭代需要进行如下更新: (）。

当实现 softmax 回归算法时， 我们通常会使用上述代价函数的一个改进版本。具体来说，就是和权重衰减(weight decay)一起使用。我们接下来介绍使用它的动机和细节。

Softmax回归模型参数化的特点

Softmax 回归有一个不寻常的特点：它有一个“冗余”的参数集。为了便于阐述这一特点，假设我们从参数向量 中减去了向量 ，这时，每一个 都变成了 ()。此时假设函数变成了以下的式子：

换句话说，从 中减去 完全不影响假设函数的预测结果！这表明前面的 softmax 回归模型中存在冗余的参数。更正式一点来说， Softmax 模型被过度参数化了。对于任意一个用于拟合数据的假设函数，可以求出多组参数值，这些参数得到的是完全相同的假设函数 。

进一步而言，如果参数 是代价函数 的极小值点，那么 同样也是它的极小值点，其中 可以为任意向量。因此使 最小化的解不是唯一的。（有趣的是，由于 仍然是一个凸函数，因此梯度下降时不会遇到局部最优解的问题。但是 Hessian 矩阵是奇异的/不可逆的，这会直接导致采用牛顿法优化就遇到数值计算的问题）

注意，当 时，我们总是可以将 替换为（即替换为全零向量），并且这种变换不会影响假设函数。因此我们可以去掉参数向量 （或者其他 中的任意一个）而不影响假设函数的表达能力。实际上，与其优化全部的 个参数 （其中 ），我们可以令 ，只优化剩余的 个参数，这样算法依然能够正常工作。

在实际应用中，为了使算法实现更简单清楚，往往保留所有参数 ，而不任意地将某一参数设置为 0。但此时我们需要对代价函数做一个改动：加入权重衰减。权重衰减可以解决 softmax 回归的参数冗余所带来的数值问题。

权重衰减

我们通过添加一个权重衰减项 来修改代价函数，这个衰减项会惩罚过大的参数值，现在我们的代价函数变为：

有了这个权重衰减项以后 ()，代价函数就变成了严格的凸函数，这样就可以保证得到唯一的解了。 此时的 Hessian矩阵变为可逆矩阵，并且因为是凸函数，梯度下降法和 L-BFGS 等算法可以保证收敛到全局最优解。

为了使用优化算法，我们需要求得这个新函数 的导数，如下：

通过最小化 ，我们就能实现一个可用的 softmax 回归模型。

Softmax回归与Logistic 回归的关系

当类别数 时，softmax 回归退化为 logistic 回归。这表明 softmax 回归是 logistic 回归的一般形式。具体地说，当 时，softmax 回归的假设函数为：

利用softmax回归参数冗余的特点，我们令 ，并且从两个参数向量中都减去向量 ，得到:

因此，用 来表示，我们就会发现 softmax 回归器预测其中一个类别的概率为 ，另一个类别概率的为 ，这与 logistic回归是一致的。

Softmax 回归 vs. k 个二元分类器

如果你在开发一个音乐分类的应用，需要对k种类型的音乐进行识别，那么是选择使用 softmax 分类器呢，还是使用 logistic 回归算法建立 k 个独立的二元分类器呢？

这一选择取决于你的类别之间是否互斥，例如，如果你有四个类别的音乐，分别为：古典音乐、乡村音乐、摇滚乐和爵士乐，那么你可以假设每个训练样本只会被打上一个标签（即：一首歌只能属于这四种音乐类型的其中一种），此时你应该使用类别数 k = 4 的softmax回归。（如果在你的数据集中，有的歌曲不属于以上四类的其中任何一类，那么你可以添加一个“其他类”，并将类别数 k 设为5。）

如果你的四个类别如下：人声音乐、舞曲、影视原声、流行歌曲，那么这些类别之间并不是互斥的。例如：一首歌曲可以来源于影视原声，同时也包含人声 。这种情况下，使用4个二分类的 logistic 回归分类器更为合适。这样，对于每个新的音乐作品 ，我们的算法可以分别判断它是否属于各个类别。

现在我们来看一个计算视觉领域的例子，你的任务是将图像分到三个不同类别中。(i) 假设这三个类别分别是：室内场景、户外城区场景、户外荒野场景。你会使用sofmax回归还是 3个logistic 回归分类器呢？ (ii) 现在假设这三个类别分别是室内场景、黑白图片、包含人物的图片，你又会选择 softmax 回归还是多个 logistic 回归分类器呢？

在第一个例子中，三个类别是互斥的，因此更适于选择softmax回归分类器 。而在第二个例子中，建立三个独立的 logistic回归分类器更加合适。

1 摘要

      本报告是在学习斯坦福大学机器学习课程前四节加上配套的讲义后的总结与认识。前四节主要讲述了回归问题，回归属于有监督学习中的一种方法。该方法的核心思想是从连续型统计数据中得到数学模型，然后将该数学模型用于预测或者分类。该方法处理的数据可以是多维的。

     讲义最初介绍了一个基本问题，然后引出了线性回归的解决方法，然后针对误差问题做了概率解释。之后介绍了logistic回归。最后上升到理论层次，提出了一般回归。

2 问题引入

     这个例子来自http://www.cnblogs.com/LeftNotEasy/archive/2010/12/05/mathmatic_in_machine_learning_1_regression_and_gradient_descent.html

     假设有一个房屋销售的数据如下：

面积(m^2)	销售价钱（万元）
123	250
150	320
87	160
102	220
…	…

     这个表类似于北京5环左右的房屋价钱，我们可以做出一个图，x轴是房屋的面积。y轴是房屋的售价，如下：

     

     如果来了一个新的面积，假设在销售价钱的记录中没有的，我们怎么办呢？

     我们可以用一条曲线去尽量准的拟合这些数据，然后如果有新的输入过来，我们可以在将曲线上这个点对应的值返回。如果用一条直线去拟合，可能是下面的样子：

     

     绿色的点就是我们想要预测的点。

     首先给出一些概念和常用的符号。

     房屋销售记录表：训练集(training set)或者训练数据(training data), 是我们流程中的输入数据，一般称为x

     房屋销售价钱：输出数据，一般称为y

     拟合的函数（或者称为假设或者模型）：一般写做 y = h(x)

     训练数据的条目数(#training set),：一条训练数据是由一对输入数据和输出数据组成的输入数据的维度n (特征的个数，#features)

     这个例子的特征是两维的，结果是一维的。然而回归方法能够解决特征多维，结果是一维多离散值或一维连续值的问题。

3 学习过程

     下面是一个典型的机器学习的过程，首先给出一个输入数据，我们的算法会通过一系列的过程得到一个估计的函数，这个函数有能力对没有见过的新数据给出一个新的估计，也被称为构建一个模型。就如同上面的线性回归函数。

     

4 线性回归

     线性回归假设特征和结果满足线性关系。其实线性关系的表达能力非常强大，每个特征对结果的影响强弱可以由前面的参数体现，而且每个特征变量可以首先映射到一个函数，然后再参与线性计算。这样就可以表达特征与结果之间的非线性关系。

     我们用X1，X2..Xn 去描述feature里面的分量，比如x1=房间的面积，x2=房间的朝向，等等，我们可以做出一个估计函数：

     

     θ在这儿称为参数，在这的意思是调整feature中每个分量的影响力，就是到底是房屋的面积更重要还是房屋的地段更重要。为了如果我们令X0 = 1，就可以用向量的方式来表示了：

     

     我们程序也需要一个机制去评估我们θ是否比较好，所以说需要对我们做出的h函数进行评估，一般这个函数称为损失函数（loss function）或者错误函数(error function)，描述h函数不好的程度，在下面，我们称这个函数为J函数

     在这儿我们可以认为错误函数如下：

     

     这个错误估计函数是去对x(i)的估计值与真实值y(i)差的平方和作为错误估计函数，前面乘上的1/2是为了在求导的时候，这个系数就不见了。

     至于为何选择平方和作为错误估计函数，讲义后面从概率分布的角度讲解了该公式的来源。

     如何调整θ以使得J(θ)取得最小值有很多方法，其中有最小二乘法(min square)，是一种完全是数学描述的方法，和梯度下降法。

5 梯度下降法

     在选定线性回归模型后，只需要确定参数θ，就可以将模型用来预测。然而θ需要在J(θ)最小的情况下才能确定。因此问题归结为求极小值问题，使用梯度下降法。梯度下降法最大的问题是求得有可能是全局极小值，这与初始点的选取有关。

     梯度下降法是按下面的流程进行的：

     1）首先对θ赋值，这个值可以是随机的，也可以让θ是一个全零的向量。

     2）改变θ的值，使得J(θ)按梯度下降的方向进行减少。

     梯度方向由J(θ)对θ的偏导数确定，由于求的是极小值，因此梯度方向是偏导数的反方向。结果为

          

     迭代更新的方式有两种，一种是批梯度下降，也就是对全部的训练数据求得误差后再对θ进行更新，另外一种是增量梯度下降，每扫描一步都要对θ进行更新。前一种方法能够不断收敛，后一种方法结果可能不断在收敛处徘徊。

     一般来说，梯度下降法收敛速度还是比较慢的。

     另一种直接计算结果的方法是最小二乘法。

6 最小二乘法

     将训练特征表示为X矩阵，结果表示成y向量，仍然是线性回归模型，误差函数不变。那么θ可以直接由下面公式得出

     但此方法要求X是列满秩的，而且求矩阵的逆比较慢。

7 选用误差函数为平方和的概率解释

     假设根据特征的预测结果与实际结果有误差，那么预测结果和真实结果满足下式：

     一般来讲，误差满足平均值为0的高斯分布，也就是正态分布。那么x和y的条件概率也就是

     这样就估计了一条样本的结果概率，然而我们期待的是模型能够在全部样本上预测最准，也就是概率积最大。注意这里的概率积是概率密度函数积，连续函数的概率密度函数与离散值的概率函数不同。这个概率积成为最大似然估计。我们希望在最大似然估计得到最大值时确定θ。那么需要对最大似然估计公式求导，求导结果既是

          

     这就解释了为何误差函数要使用平方和。

     当然推导过程中也做了一些假定，但这个假定符合客观规律。

8 带权重的线性回归

     上面提到的线性回归的误差函数里系统都是1，没有权重。带权重的线性回归加入了权重信息。

     基本假设是

          

     其中假设符合公式

               

     其中x是要预测的特征，这样假设的道理是离x越近的样本权重越大，越远的影响越小。这个公式与高斯分布类似，但不一样，因为不是随机变量。

     此方法成为非参数学习算法，因为误差函数随着预测值的不同而不同，这样θ无法事先确定，预测一次需要临时计算，感觉类似KNN。

9 分类和logistic回归

     一般来说，回归不用在分类问题上，因为回归是连续型模型，而且受噪声影响比较大。如果非要应用进入，可以使用logistic回归。

     logistic回归本质上是线性回归，只是在特征到结果的映射中加入了一层函数映射，即先把特征线性求和，然后使用函数g(z)将最为假设函数来预测。g(z)可以将连续值映射到0和1上。

     logistic回归的假设函数如下，线性回归假设函数只是。

     logistic回归用来分类0/1问题，也就是预测结果属于0或者1的二值分类问题。这里假设了二值满足伯努利分布，也就是

     当然假设它满足泊松分布、指数分布等等也可以，只是比较复杂，后面会提到线性回归的一般形式。

     与第7节一样，仍然求的是最大似然估计，然后求导，得到迭代公式结果为

     

     可以看到与线性回归类似，只是换成了，而实际上就是经过g(z)映射过来的。

10 牛顿法来解最大似然估计

     第7和第9节使用的解最大似然估计的方法都是求导迭代的方法，这里介绍了牛顿下降法，使结果能够快速的收敛。

     当要求解时，如果f可导，那么可以通过迭代公式

     来迭代求解最小值。

     当应用于求解最大似然估计的最大值时，变成求解最大似然估计概率导数的问题。

     那么迭代公式写作

     

     当θ是向量时，牛顿法可以使用下面式子表示

      

     其中是n×n的Hessian矩阵。

     牛顿法收敛速度虽然很快，但求Hessian矩阵的逆的时候比较耗费时间。

     当初始点X0靠近极小值X时，牛顿法的收敛速度是最快的。但是当X0远离极小值时，牛顿法可能不收敛，甚至连下降都保证不了。原因是迭代点Xk+1不一定是目标函数f在牛顿方向上的极小点。

11 一般线性模型

     之所以在logistic回归时使用

     

     的公式是由一套理论作支持的。

     这个理论便是一般线性模型。

     首先，如果一个概率分布可以表示成

     

     时，那么这个概率分布可以称作是指数分布。

     伯努利分布，高斯分布，泊松分布，贝塔分布，狄特里特分布都属于指数分布。

     在logistic回归时采用的是伯努利分布，伯努利分布的概率可以表示成

     

     其中

     

     得到

     

     这就解释了logistic回归时为了要用这个函数。

     一般线性模型的要点是

     1）  满足一个以为参数的指数分布，那么可以求得的表达式。

     2） 给定x，我们的目标是要确定，大多数情况下，那么我们实际上要确定的是，而。（在logistic回归中期望值是，因此h是；在线性回归中期望值是，而高斯分布中，因此线性回归中h=）。

     3） 

12 Softmax回归

     最后举了一个利用一般线性模型的例子。

     假设预测值y有k种可能，即y∈{1,2,…,k}

     比如k=3时，可以看作是要将一封未知邮件分为垃圾邮件、个人邮件还是工作邮件这三类。

     定义

     

     那么

     

     这样

     

     即式子左边可以有其他的概率表示，因此可以当作是k-1维的问题。

     为了表示多项式分布表述成指数分布，我们引入T(y)，它是一组k-1维的向量，这里的T(y)不是y，T(y)i表示T(y)的第i个分量。

     

     应用于一般线性模型，结果y必然是k中的一种。1{y=k}表示当y=k的时候，1{y=k}=1。那么p(y)可以表示为

     

     其实很好理解，就是当y是一个值m（m从1到k）的时候，p(y)=，然后形式化了一下。

     那么

     

     最后求得

     

     而y=i时

     

     求得期望值

     那么就建立了假设函数，最后就获得了最大似然估计

     对该公式可以使用梯度下降或者牛顿法迭代求解。

     解决了多值模型建立与预测问题。

 

 

学习总结

     该讲义组织结构清晰，思路独特，讲原因，也讲推导。可贵的是讲出了问题的基本解决思路和扩展思路，更重要的是讲出了为什么要使用相关方法以及问题根源。在看似具体的解题思路中能引出更为抽象的一般解题思路，理论化水平很高。

     该方法可以用在对数据多维分析和多值预测上，更适用于数据背后蕴含某种概率模型的情景。

几个问题

     一是采用迭代法的时候，步长怎么确定比较好

     而是最小二乘法的矩阵形式是否一般都可用

原博文：http://www.cnblogs.com/jerrylead/archive/2011/03/05/1971867.html