《图解机器学习-杉山将著》读书笔记—CH4

CH4 带有约束条件的最小二乘法

重点提炼

提出带有约束条件的最小二乘学习法的缘故：

 

左图中可见：一般的最小二乘学习法有个缺点----对于包含噪声的学习过程经常会过拟合

右图：有了空间约束之后，学习到的曲线能避免过拟合，得到想要的学习结果（x-y关系）。  

带有约束条件的最小二乘学习法具体方法

1.部分空间约束的最小二乘学习法

①　公式

 

在上面普通最小二乘学习法公式基础上添加一个约束条件： 

②　对线性模型进行带有约束条件的最小二乘学习，得到参数theta

 

③　优点：只用了参数空间的一部分

④　缺点：由于正交投影矩阵P的设置有很大的自由度，所以在实际应用中操作较难

2.L2约束的最小二乘学习法----圆形

①　公式

在普通最小二乘学习法公式基础上添加一个约束条件：

这里用到的二范数，所以此种方法叫做L2，L2约束的最小二乘学习法是以参数空间的原点为圆心，在一定半径范围的圆内进行求解。

②　利用拉格朗日对偶问题，通过求最优解问题，得到参数theta

 

③　优点：比起部分空间约束的最小二乘学习法，L2约束的最小二乘学习法在操作上相对容易，避免了空间约束方法中有很大自由度去设置矩阵P

3.一般L2约束的最小二乘学习法----椭圆形

①　公式

在普通最小二乘学习法公式基础上添加一个约束条件：，可以把参数限制在椭圆形状的数据区域内

②　参数的解

如何选择模型？

1.L2约束的最小二乘学习法中选择高斯核模型的参数影响：

带宽h太小	函数会呈锯齿状
带宽h太大	函数过于平滑
正则化参数太小	过拟合现象明显
正则化参数太大	结果趋于直线

 

 

 

 

 

 

所以要选择合适的带宽以及正则化参数

2.模型选择的含义

采用不同的输入训练样本，来决定机器学习算法中包含的各个参数值，叫做模型选择。

3.模型选择的一般流程

最重要的是第三步泛化误差，即对未知的测试样本求预测误差

 

4.交叉验证法求泛化误差

①　提出原因：可以通过交叉验证求得最小的泛化误差，从而确定最佳的模型参数；交叉验证法可以对泛化误差进行较为精确的评估，防止强过拟合

②　思路：把训练样本的一部分拿出来作为测试样本

③　算法流程：

 

带有约束条件的最小二乘学习法结合交叉验证法，在实际应用中是非常有效的回归方法！

P33

通过运行代码学习

1.“对线性模型进行部分空间约束的最小二乘法学习，其中线性模型基函数是三角多项式”

 

公式中的约束矩阵P即代码中的PP，在这里是手动进行设置的，也可以通过后续ch13节中的pca基于数据进行设置。满足的条件是：

 

，其中第一行到第十一行这部分子矩阵上的对角线上值为1，其它都为0

普通最小二乘法学习结果

 

受约束的最小二乘法学习结果

 

与x-y训练数据做比较

 

结果显示，通过约束设置，使得过拟合得到了一定程度的减轻。

P33

补充知识来理解书上内容

Matlab 中 diag函数

X = diag(v)：向量v在方阵X的主对角线上

例：

v=[1 2 3];
diag(v)

ans =

1 0 0
0 2 0
0 0 3

P36

通过运行代码学习

“对高斯核模型进行l2约束的最小二乘学习”

下面的k与K分别是训练集以及测试集中的基函数，这里因为用了高斯核，所以

 

无约束的最小二乘法中，参数解，所以有： 

因此就得到了输出观测值：

在L2约束的最小二乘法中，参数解，所以 

 得到了L2约束后的输出观测值y

 

 可视化结果：绿色是无约束的最小二乘法后输出的预测值y，红色是L2约束的最小二乘法输出的预测值y，蓝色圈是真实的训练数据的输出值y。

可见红色部分即L2参数约束后，有效防止了过拟合。

 

 P36

补充知识来理解书上内容

Matlab 中repmat函数

 

 Matlab 中eye函数

eye(n)会生成n*n的矩阵，且正对角线上都是1，其它都是0

 

 P42

通过运行代码学习

“对高斯核模型的l2约束的最小二乘学习法进行交叉验证---得到最小的泛化误差---从而选择最佳的高斯核模型参数”

带宽h设为0.03、0.3、3三种可能；正则化参数lameda设为0.0001、0.1、100三种可能

 

 把50个训练集平均分为m=5等份

 

 下面这步之后，训练集还是被平分为5份，只是顺序全部随机化了

 

 1．当h=0.03时

（1）对编号为2、3、4、5的40个作为训练集得到参数，再得到编号为1作测试集的y，再计算泛化误差

①　Lameda=0.0001时计算误差

②　Lameda=0.1时计算误差

③　Lameda=100时计算误差

（2）对编号为1、3、4、5的40个作为训练集得到参数，再得到编号为2作测试集的y，再计算泛化误差

④　Lameda=0.0001时计算误差

⑤　Lameda=0.1时计算误差

⑥　Lameda=100时计算误差

（3）对编号为1、2、4、5的40个作为训练集得到参数，再得到编号为3作测试集的y，再计算泛化误差

⑦　Lameda=0.0001时计算误差

⑧　Lameda=0.1时计算误差

⑨　Lameda=100时计算误差

（4）对编号为1、2、3、5的40个作为训练集得到参数，再得到编号为4作测试集的y，再计算泛化误差

⑩　Lameda=0.0001时计算误差

11　Lameda=0.1时计算误差

12　Lameda=100时计算误差

（5）对编号为1、2、3、4的40个作为训练集得到参数，再得到编号为5作测试集的y，再计算泛化误差

 13　Lameda=0.0001时计算误差

14　Lameda=0.1时计算误差

15　Lameda=100时计算误差

2．当h=0.3时

（1）对编号为2、3、4、5的40个作为训练集得到参数，再得到编号为1作测试集的y，再计算泛化误差

 16　Lameda=0.0001时计算误差

17　Lameda=0.1时计算误差

18　Lameda=100时计算误差

（2）对编号为1、3、4、5的40个作为训练集得到参数，再得到编号为2作测试集的y，再计算泛化误差

19　Lameda=0.0001时计算误差

20　Lameda=0.1时计算误差

21　Lameda=100时计算误差

（3）对编号为1、2、4、5的40个作为训练集得到参数，再得到编号为3作测试集的y，再计算泛化误差

22　Lameda=0.0001时计算误差

23　Lameda=0.1时计算误差

24　Lameda=100时计算误差

（4）对编号为1、2、3、5的40个作为训练集得到参数，再得到编号为4作测试集的y，再计算泛化误差

 25　Lameda=0.0001时计算误差

26　Lameda=0.1时计算误差

27　Lameda=100时计算误差

（5）对编号为1、2、3、4的40个作为训练集得到参数，再得到编号为5作测试集的y，再计算泛化误差

28　Lameda=0.0001时计算误差

29　Lameda=0.1时计算误差

30　Lameda=100时计算误差

3．当h=3时

（1）对编号为2、3、4、5的40个作为训练集得到参数，再得到编号为1作测试集的y，再计算泛化误差

31　Lameda=0.0001时计算误差

32　Lameda=0.1时计算误差

33　Lameda=100时计算误差

（2）对编号为1、3、4、5的40个作为训练集得到参数，再得到编号为2作测试集的y，再计算泛化误差

34　Lameda=0.0001时计算误差

35　Lameda=0.1时计算误差

36　Lameda=100时计算误差

（3）对编号为1、2、4、5的40个作为训练集得到参数，再得到编号为3作测试集的y，再计算泛化误差

37　Lameda=0.0001时计算误差

38　Lameda=0.1时计算误差

39　Lameda=100时计算误差

（4）对编号为1、2、3、5的40个作为训练集得到参数，再得到编号为4作测试集的y，再计算泛化误差

40　Lameda=0.0001时计算误差

41　Lameda=0.1时计算误差

42　Lameda=100时计算误差

（5）对编号为1、2、3、4的40个作为训练集得到参数，再得到编号为5作测试集的y，再计算泛化误差

43　Lameda=0.0001时计算误差

44　Lameda=0.1时计算误差

45　Lameda=100时计算误差

 所有循环经历后得到的误差：是一个3*3*5的矩阵

 

 求5组训练集上的泛化误差均值，并选出其中最小误差值

 

 得到对应的最佳参数h=0.3，lameda=0.1，计算最佳参数时的参数，以及真正测试集的输出结果，可视化拟合结果：

 

 P42

补充知识来理解书上内容

Matlab 中floor函数

 

 Matlab 中randperm函数

 

 Matlab 中数值关系符号

 

 Matlab 中mean函数

mean (A, 3) 是对矩阵A中第三维求均值

Matlab 中min函数

min(A,[],2)返回一个列向量，其第i个元素是A矩阵的第i行上的最大值