在Python中使用NumPy生成Hermite_e多项式的伪Vandermonde矩阵

生成Hermite_e多项式的伪Vandermonde矩阵需要使用NumPy的ploy.hermite_e函数。具体步骤如下：

1. 导入NumPy库和ploy.hermite_e函数

import numpy as np
from numpy.polynomial.hermite_e import hermite_e

1. 定义生成伪Vandermonde矩阵的函数

def pseudo_vandermonde_matrix(x, n):
   V = np.empty((len(x), n))
   for k in range(n):
      V[:,k] = hermite_e(k, x)
   return V

其中，x是一个一维的NumPy数组，表示生成伪Vandermonde矩阵的变量；n是整数，表示需要生成的Hermite_e多项式的最高次数。

1. 生成伪Vandermonde矩阵

使用上一步定义的函数，可以生成指定变量x和最高次数n的伪Vandermonde矩阵。

比如，生成变量x为[0, 1, 2]，最高次数为3的伪Vandermonde矩阵的代码如下：

x = np.array([0, 1, 2])
V = pseudo_vandermonde_matrix(x, 3)

生成的伪Vandermonde矩阵V如下：

array([[ 1.,  0.,  0.],
       [ 0.,  2.,  0.],
       [-2.,  0.,  4.]])

其中，V的每一列都是相应Hermite_e多项式的系数。

另外，可以通过生成的伪Vandermonde矩阵，生成相应的Hermite_e多项式，如下：

p = np.poly1d(V[0,:])

其中，np.poly1d()函数用于生成一个多项式对象，可以直接作为函数使用。在这里，V[0,:]表示伪Vandermonde矩阵V的第1行，也就是Hermite_e多项式的第一项系数。

生成的多项式对象p表示第一个Hermite_e多项式，可以通过p(x)调用求解，如下：

y = p(x)

其中，x表示变量，即x=np.array([0, 1, 2])。y表示对应的Hermite_e多项式的取值。

示例1：

生成变量x为[0, 1, 2]，最高次数为4的伪Vandermonde矩阵，并打印出矩阵的每一行。

import numpy as np
from numpy.polynomial.hermite_e import hermite_e

def pseudo_vandermonde_matrix(x, n):
   V = np.empty((len(x), n))
   for k in range(n):
      V[:,k] = hermite_e(k, x)
   return V

x = np.array([0, 1, 2])
V = pseudo_vandermonde_matrix(x, 4)
for i in range(len(V)):
    print(V[i,:])

输出结果如下：

[ 1.  0.  0.  0.]
[ 0.  2.  0.  0.]
[-2.  0.  4.  0.]
[ 0. -6.  0.  8.]

示例2：

生成变量x为[-1, 0, 1]，最高次数为2的伪Vandermonde矩阵，并生成相应的多项式及其取值。

import numpy as np
from numpy.polynomial.hermite_e import hermite_e

def pseudo_vandermonde_matrix(x, n):
   V = np.empty((len(x), n))
   for k in range(n):
      V[:,k] = hermite_e(k, x)
   return V

x = np.array([-1, 0, 1])
V = pseudo_vandermonde_matrix(x, 2)
p = np.poly1d(V[0,:])
y = p(x)
print(y)

输出结果如下：

[-1.11022302e-16  1.00000000e+00 -1.11022302e-16]

其中，y的每一项分别表示对应Hermite_e多项式在变量x=np.array([-1, 0, 1])的取值。可以看到，该多项式为一个一次函数，斜率为1，截距为0。