在Python中用4d数组的系数评估x、y和z的笛卡尔乘积上的3-D切比雪夫级数

下面是在Python中使用4d数组的系数评估x、y和z的笛卡尔乘积上的3-D切比雪夫级数的完整攻略。

背景知识

在计算机科学中，切比雪夫级数用于描述函数在区间上的收敛性。在三维情况下，切比雪夫级数被定义为：

$${\displaystyle f_{n}(x,y,z)=\sum {k{1}=0}^{n}\sum {k{2}=0}^{n-k_{1}}\sum {k{3}=0}^{n-k_{1}-k_{2}}a_{k_{1},k_{2},k_{3}}T_{k_{1}}(x)T_{k_{2}}(y)T_{k_{3}}(z)}$$

其中$a_{k_{1},k_{2},k_{3}}$是系数，$T_{k_{1}}(x)$，$T_{k_{2}}(y)$和$T_{k_{3}}(z)$是切比雪夫多项式，而$n$是级数的上限。

使用4D数组评估笛卡尔乘积

首先我们需要创建一个4D数组来存储系数$a_{k_{1},k_{2},k_{3}}$，然后需要计算切比雪夫多项式$T_{k_{1}}(x)$，$T_{k_{2}}(y)$和$T_{k_{3}}(z)$。这可以通过以下函数完成：

import numpy as np

def chebyshev_poly(n, x):
    if n == 0:
        return np.ones_like(x)
    elif n == 1:
        return x
    else:
        return 2 * x * chebyshev_poly(n-1, x) - chebyshev_poly(n-2, x)

接下来，我们需要计算笛卡尔乘积，这可以使用np.meshgrid()函数完成：

x, y, z = np.meshgrid(x, y, z, indexing='ij')

然后，我们需要将切比雪夫多项式和笛卡尔乘积相乘，并将结果相加，这可以使用以下代码：

f = np.zeros_like(x)
for k1 in range(n+1):
    for k2 in range(n-k1+1):
        for k3 in range(n-k1-k2+1):
            a = a_coeffs[k1, k2, k3]
            T1 = chebyshev_poly(k1, x)
            T2 = chebyshev_poly(k2, y)
            T3 = chebyshev_poly(k3, z)
            f += a * T1 * T2 * T3

其中，a_coeffs是一个4D数组，存储着系数$a_{k_{1},k_{2},k_{3}}$。

示例说明

示例一

我们假设有一个3D函数，其系数为：

$$a_{0,0,0}=1$$
$$a_{1,0,0}=2$$
$$a_{0,1,0}=3$$
$$a_{0,0,1}=4$$
$$a_{1,1,0}=5$$
$$a_{1,0,1}=6$$
$$a_{0,1,1}=7$$
$$a_{1,1,1}=8$$

我们想要计算该函数的3D切比雪夫级数，上限为$n=1$。我们可以按照以下代码计算：

import numpy as np

def chebyshev_poly(n, x):
    if n == 0:
        return np.ones_like(x)
    elif n == 1:
        return x
    else:
        return 2 * x * chebyshev_poly(n-1, x) - chebyshev_poly(n-2, x)

def calculate_chebyshev_series(a_coeffs, x, y, z, n):
    x, y, z = np.meshgrid(x, y, z, indexing='ij')
    f = np.zeros_like(x)
    for k1 in range(n+1):
        for k2 in range(n-k1+1):
            for k3 in range(n-k1-k2+1):
                a = a_coeffs[k1, k2, k3]
                T1 = chebyshev_poly(k1, x)
                T2 = chebyshev_poly(k2, y)
                T3 = chebyshev_poly(k3, z)
                f += a * T1 * T2 * T3
    return f

a_coeffs = np.array([
    [
        [1, 2, 0, 3],
        [0, 5, 6, 0],
        [0, 0, 0, 7]
    ],
    [
        [0, 0, 0, 0],
        [0, 0, 0, 0],
        [0, 0, 0, 0]
    ]
])

x = np.linspace(-1, 1, 100)
y = np.linspace(-1, 1, 100)
z = np.linspace(-1, 1, 100)

f = calculate_chebyshev_series(a_coeffs, x, y, z, 1)

其中，x、y、z为各维度的坐标，n=1。最终得到的f为一个3D数组，表示函数的3D切比雪夫级数。

示例二

在本示例中，我们将使用一个4D数组，并按照以下公式计算笛卡尔乘积的3D切比雪夫级数：

$${\displaystyle f_{n}(x,y,z)=\sum {k{1}=0}^{n}\sum {k{2}=0}^{n-k_{1}}\sum {k{3}=0}^{n-k_{1}-k_{2}}\sum {k{4}=0}^{n-k_{1}-k_{2}-k_{3}}a_{k_{1},k_{2},k_{3},k_{4}}T_{k_{1}}(x)T_{k_{2}}(y)T_{k_{3}}(z)T_{k_{4}}(w)}$$

其中，$a_{k_{1},k_{2},k_{3},k_{4}}$是系数，$T_{k_{1}}(x)$，$T_{k_{2}}(y)$，$T_{k_{3}}(z)$和$T_{k_{4}}(w)$是切比雪夫多项式，而$n$是级数的上限。

我们可以按照以下代码计算：

import numpy as np

def chebyshev_poly(n, x):
    if n == 0:
        return np.ones_like(x)
    elif n == 1:
        return x
    else:
        return 2 * x * chebyshev_poly(n-1, x) - chebyshev_poly(n-2, x)

def calculate_4d_chebyshev_series(a_coeffs, x, y, z, w, n):
    x, y, z, w = np.meshgrid(x, y, z, w, indexing='ij')
    f = np.zeros_like(x)
    for k1 in range(n+1):
        for k2 in range(n-k1+1):
            for k3 in range(n-k1-k2+1):
                for k4 in range(n-k1-k2-k3+1):
                    a = a_coeffs[k1, k2, k3, k4]
                    T1 = chebyshev_poly(k1, x)
                    T2 = chebyshev_poly(k2, y)
                    T3 = chebyshev_poly(k3, z)
                    T4 = chebyshev_poly(k4, w)
                    f += a * T1 * T2 * T3 * T4
    return f

a_coeffs = np.array([
    [
        [
            [1, 2],
            [3, 4]
        ],
        [
            [5, 6],
            [7, 8]
        ]
    ],
    [
        [
            [9, 10],
            [11, 12]
        ],
        [
            [13, 14],
            [15, 16]
        ]
    ]
])

x = np.linspace(-1, 1, 100)
y = np.linspace(-1, 1, 100)
z = np.linspace(-1, 1, 100)
w = np.linspace(-1, 1, 100)

f = calculate_4d_chebyshev_series(a_coeffs, x, y, z, w, 1)

其中，a_coeffs为4D数组，x、y、z、w为各维度的坐标，n=1。最终得到的f为一个3D数组，表示笛卡尔乘积的3D切比雪夫级数。