在Python中用4d数组的系数评估x、y和z的笛卡尔乘积上的3-D切比雪夫级数

下面是在Python中使用4d数组的系数评估x、y和z的笛卡尔乘积上的3-D切比雪夫级数的完整攻略。

背景知识

在计算机科学中,切比雪夫级数用于描述函数在区间上的收敛性。在三维情况下,切比雪夫级数被定义为:

$${\displaystyle f_{n}(x,y,z)=\sum {k{1}=0}^{n}\sum {k{2}=0}^{n-k_{1}}\sum {k{3}=0}^{n-k_{1}-k_{2}}a_{k_{1},k_{2},k_{3}}T_{k_{1}}(x)T_{k_{2}}(y)T_{k_{3}}(z)}$$

其中$a_{k_{1},k_{2},k_{3}}$是系数,$T_{k_{1}}(x)$,$T_{k_{2}}(y)$和$T_{k_{3}}(z)$是切比雪夫多项式,而$n$是级数的上限。

使用4D数组评估笛卡尔乘积

首先我们需要创建一个4D数组来存储系数$a_{k_{1},k_{2},k_{3}}$,然后需要计算切比雪夫多项式$T_{k_{1}}(x)$,$T_{k_{2}}(y)$和$T_{k_{3}}(z)$。这可以通过以下函数完成:

import numpy as np

def chebyshev_poly(n, x):
    if n == 0:
        return np.ones_like(x)
    elif n == 1:
        return x
    else:
        return 2 * x * chebyshev_poly(n-1, x) - chebyshev_poly(n-2, x)

接下来,我们需要计算笛卡尔乘积,这可以使用np.meshgrid()函数完成:

x, y, z = np.meshgrid(x, y, z, indexing='ij')

然后,我们需要将切比雪夫多项式和笛卡尔乘积相乘,并将结果相加,这可以使用以下代码:

f = np.zeros_like(x)
for k1 in range(n+1):
    for k2 in range(n-k1+1):
        for k3 in range(n-k1-k2+1):
            a = a_coeffs[k1, k2, k3]
            T1 = chebyshev_poly(k1, x)
            T2 = chebyshev_poly(k2, y)
            T3 = chebyshev_poly(k3, z)
            f += a * T1 * T2 * T3

其中,a_coeffs是一个4D数组,存储着系数$a_{k_{1},k_{2},k_{3}}$。

示例说明

示例一

我们假设有一个3D函数,其系数为:

$$a_{0,0,0}=1$$
$$a_{1,0,0}=2$$
$$a_{0,1,0}=3$$
$$a_{0,0,1}=4$$
$$a_{1,1,0}=5$$
$$a_{1,0,1}=6$$
$$a_{0,1,1}=7$$
$$a_{1,1,1}=8$$

我们想要计算该函数的3D切比雪夫级数,上限为$n=1$。我们可以按照以下代码计算:

import numpy as np

def chebyshev_poly(n, x):
    if n == 0:
        return np.ones_like(x)
    elif n == 1:
        return x
    else:
        return 2 * x * chebyshev_poly(n-1, x) - chebyshev_poly(n-2, x)

def calculate_chebyshev_series(a_coeffs, x, y, z, n):
    x, y, z = np.meshgrid(x, y, z, indexing='ij')
    f = np.zeros_like(x)
    for k1 in range(n+1):
        for k2 in range(n-k1+1):
            for k3 in range(n-k1-k2+1):
                a = a_coeffs[k1, k2, k3]
                T1 = chebyshev_poly(k1, x)
                T2 = chebyshev_poly(k2, y)
                T3 = chebyshev_poly(k3, z)
                f += a * T1 * T2 * T3
    return f

a_coeffs = np.array([
    [
        [1, 2, 0, 3],
        [0, 5, 6, 0],
        [0, 0, 0, 7]
    ],
    [
        [0, 0, 0, 0],
        [0, 0, 0, 0],
        [0, 0, 0, 0]
    ]
])

x = np.linspace(-1, 1, 100)
y = np.linspace(-1, 1, 100)
z = np.linspace(-1, 1, 100)

f = calculate_chebyshev_series(a_coeffs, x, y, z, 1)

其中,xyz为各维度的坐标,n=1。最终得到的f为一个3D数组,表示函数的3D切比雪夫级数。

示例二

在本示例中,我们将使用一个4D数组,并按照以下公式计算笛卡尔乘积的3D切比雪夫级数:

$${\displaystyle f_{n}(x,y,z)=\sum {k{1}=0}^{n}\sum {k{2}=0}^{n-k_{1}}\sum {k{3}=0}^{n-k_{1}-k_{2}}\sum {k{4}=0}^{n-k_{1}-k_{2}-k_{3}}a_{k_{1},k_{2},k_{3},k_{4}}T_{k_{1}}(x)T_{k_{2}}(y)T_{k_{3}}(z)T_{k_{4}}(w)}$$

其中,$a_{k_{1},k_{2},k_{3},k_{4}}$是系数,$T_{k_{1}}(x)$,$T_{k_{2}}(y)$,$T_{k_{3}}(z)$和$T_{k_{4}}(w)$是切比雪夫多项式,而$n$是级数的上限。

我们可以按照以下代码计算:

import numpy as np

def chebyshev_poly(n, x):
    if n == 0:
        return np.ones_like(x)
    elif n == 1:
        return x
    else:
        return 2 * x * chebyshev_poly(n-1, x) - chebyshev_poly(n-2, x)

def calculate_4d_chebyshev_series(a_coeffs, x, y, z, w, n):
    x, y, z, w = np.meshgrid(x, y, z, w, indexing='ij')
    f = np.zeros_like(x)
    for k1 in range(n+1):
        for k2 in range(n-k1+1):
            for k3 in range(n-k1-k2+1):
                for k4 in range(n-k1-k2-k3+1):
                    a = a_coeffs[k1, k2, k3, k4]
                    T1 = chebyshev_poly(k1, x)
                    T2 = chebyshev_poly(k2, y)
                    T3 = chebyshev_poly(k3, z)
                    T4 = chebyshev_poly(k4, w)
                    f += a * T1 * T2 * T3 * T4
    return f

a_coeffs = np.array([
    [
        [
            [1, 2],
            [3, 4]
        ],
        [
            [5, 6],
            [7, 8]
        ]
    ],
    [
        [
            [9, 10],
            [11, 12]
        ],
        [
            [13, 14],
            [15, 16]
        ]
    ]
])

x = np.linspace(-1, 1, 100)
y = np.linspace(-1, 1, 100)
z = np.linspace(-1, 1, 100)
w = np.linspace(-1, 1, 100)

f = calculate_4d_chebyshev_series(a_coeffs, x, y, z, w, 1)

其中,a_coeffs为4D数组,xyzw为各维度的坐标,n=1。最终得到的f为一个3D数组,表示笛卡尔乘积的3D切比雪夫级数。

本站文章如无特殊说明,均为本站原创,如若转载,请注明出处:在Python中用4d数组的系数评估x、y和z的笛卡尔乘积上的3-D切比雪夫级数 - Python技术站

(0)
上一篇 2023年3月25日
下一篇 2023年3月25日

相关文章

  • 批处理与python代码混合编程的方法

    批处理与 Python 代码混合编程的方法包括如下几个步骤: 在批处理文件中调用 Python 脚本; 在 Python 脚本中使用 subprocess 模块来启动批处理指令。 以下是两个示例,一个示例是在批处理文件中调用 Python 脚本,另一个示例是在 Python 脚本中使用 subprocess 模块来启动批处理指令。 示例 1:在批处理文件中调…

    python 2023年5月31日
    00
  • python读取csv文件指定行的2种方法详解

    针对“python读取csv文件指定行的2种方法详解”这个主题,我将为您提供一个完整的攻略。 1. CSV文件及其读取 1.1 CSV概述 CSV(Comma-Separated values)是一种简单常用的文件格式,以逗号作为字段之间的分隔符,用于存储表格数据。它的优点在于易于读写和处理,可以用文本编辑器或电子表格程序直接打开和编辑,而且不需要额外的数据…

    python 2023年6月3日
    00
  • 基于python 微信小程序之获取已存在模板消息列表

    这里是基于python的微信小程序之获取已存在模板消息列表的完整攻略。 1. 准备工作 在开始之前,需要确保你已经完成以下准备工作: 有一个微信公众平台账号; 已经拥有一个小程序并具有开发者权限; 安装 wechatpy 包; 获取微信小程序的 app_id 和 app_secret。 2. 原理说明 获取已存在模板消息列表的原理是使用微信小程序的接口 wx…

    python 2023年5月23日
    00
  • 如何从 VS Code 中的本地 python 包导入?

    【问题标题】:How to import from local python packages in VS Code?如何从 VS Code 中的本地 python 包导入? 【发布时间】:2023-04-02 13:05:02 【问题描述】: 我的项目结构是这样的: – my_pkg setup.py README.md – my_pkg __init__…

    Python开发 2023年4月8日
    00
  • Python创建系统目录的方法

    创建系统目录是Python中非常常见的操作之一。下面我将详细讲解Python创建系统目录的方法,希望对您有所帮助。 方法一:使用os模块 Python自带的os模块提供了操作文件和文件夹的方法,可以使用其中的os.makedirs()函数创建新的目录。 import os # 创建一个新的目录 os.makedirs(‘/Users/username/Doc…

    python 2023年5月30日
    00
  • python 3的数据库?

    【问题标题】:A database for python 3?python 3的数据库? 【发布时间】:2023-04-05 10:36:01 【问题描述】: 我正在编写一个供多个用户个人使用的服务器软件。不是数百个,也不是数千个,但一次可能有 3-10 个。 因为它是一个线程服务器,所以 SQLite 不能工作。它抱怨这样的线程: ProgrammingE…

    Python开发 2023年4月5日
    00
  • 使用python如何提取JSON数据指定内容

    下面是关于使用Python提取JSON数据指定内容的攻略: 1. 使用 Python 内置模块 json 解析 JSON 数据 通过 Python 内置的 json 模块可以解析 JSON 格式的数据,使用方法很简单。以下是提取JSON数据中所有内容的例子: import json # JSON 格式的数据 data = ‘{"name"…

    python 2023年6月3日
    00
  • python实现简单的计时器功能函数

    当需要在Python应用中实现计时器功能时,我们可以编写一个简单的计时器函数来实现这个功能。下面是一个Python实现简单的计时器功能函数的攻略: 定义一个计时器函数 首先,我们需要定义一个计时器函数,用来记录时间。该函数需要在计时开始时记录开始时间,然后在计时结束时记录结束时间,并计算两个时间间隔,以得出经过的时间: import time def tim…

    python 2023年6月2日
    00
合作推广
合作推广
分享本页
返回顶部