在x、y和z的直角坐标系乘积上评估一个3-D切比雪夫级数，其系数为2d阵列

评估一个3-D切比雪夫级数的过程，要分为三个步骤：确定系数，计算切比雪夫权值，计算三维点的估值。

系数

首先，我们需要确定系数，这里假设我们有一个 $2D$ 的阵列，维度为 $d$，即阵列中有 $d \times d$ 个元素。在 $3D$ 切比雪夫级数的情况下，系数的定义为：

$$ a_{n_1 n_2 n_3} = \frac{4}{d^3} \cos \left( \frac{\pi n_1}{d} \right) \cos \left( \frac{\pi n_2}{d} \right) \cos \left( \frac{\pi n_3}{d} \right) $$

其中 $n_1, n_2, n_3$ 是整数指标。这个系数表示了正弦和余弦函数的和的系数，是计算切比雪夫权值的基础。

切比雪夫权值

接下来是计算切比雪夫权值，即 $3D$ 中每个点的权值。切比雪夫权值在切比雪夫距离度量下是最大差异的。设 $P = (x,y,z)$ 表示三维点，$Q = (x', y', z')$ 表示立方体中的点，$d_{\infty}(P,Q)$ 表示它们之间的切比雪夫距离，则切比雪夫权值可以表示为：

$$f(P) = \sum_{n_1=-\infty}^{\infty} \sum_{n_2=-\infty}^{\infty} \sum_{n_3=-\infty}^{\infty} a_{n_1 n_2 n_3} \cos \left( \frac{\pi n_1 x}{d} \right) \cos \left( \frac{\pi n_2 y}{d} \right) \cos \left( \frac{\pi n_3 z}{d} \right)$$

计算估值

最后，我们需要计算每个点的估值。将 $x,y,z$ 的范围限定在 $[-1,1]$ 内，将立方体分成 $d \times d \times d$ 个立方体，每个立方体的边长为 $2/d$。对于每个立方体中心点 $(x_i, y_i, z_i)$，$f(x_i,y_i,z_i)$ 的值即为该立方体的估值。可以通过迭代计算每个立方体来获得全图像的估值。

举例来说，假设有一个 $3 \times 3 \times 3$ 的阵列，其中某个立方体中心点为 $(1,1,1)$，那么估值的计算过程如下：

1. 计算系数
   $$
   \begin{aligned}
   a_{000} &= \frac{4}{3^3} \cos (0) \cos (0) \cos (0) = \frac{4}{27} \
   a_{001} &= \frac{4}{3^3} \cos (0) \cos (0) \cos (\pi/3) = \frac{2\sqrt{3}}{27} \
   a_{002} &= \frac{4}{3^3} \cos (0) \cos (0) \cos (2\pi/3) = \frac{4}{27} \
   \cdots \
   a_{222} &= \frac{4}{3^3} \cos (\pi) \cos (\pi) \cos (\pi) = \frac{4}{27}
   \end{aligned}
   $$
2. 计算估值
   $$f(1,1,1) = \sum_{n_1=-\infty}^{\infty} \sum_{n_2=-\infty}^{\infty} \sum_{n_3=-\infty}^{\infty} a_{n_1 n_2 n_3} \cos \left( \frac{\pi n_1}{3} \right) \cos \left( \frac{\pi n_2}{3} \right) \cos \left( \frac{\pi n_3}{3} \right)$$

将系数代入，估值计算公式化简如下：
$$f(1,1,1) = \frac{4}{27} \left[ 1 - \frac{2\sqrt{3}}{3\pi} \cos \left( \frac{\pi}{3} \right) \cos \left( \frac{\pi}{3} \right) - \frac{4}{3\pi} \cos \left( \frac{2\pi}{3} \right) \cos \left( \frac{\pi}{3} \right) + \cdots + \frac{4}{27} \cos (\pi) \cos (\pi) \cos (\pi) \right]$$

通过数值计算即可得到 $f(1,1,1)$ 的估值。

另外一个示例是维度为 $4$ 的阵列的情况。步骤类似，但是系数和估值的计算会更加复杂。实际上，维度每增加 $1$，计算量都会成倍增加。因此，对于高维切比雪夫级数的估值计算，需要考虑如何优化计算方法。