线性卷积与圆周卷积

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前两天看了下线性卷积和圆周卷积，并对他们之间的关系作出验证。。

    线性卷积与圆周卷积

    离散线性卷积的定义：设长度为N1的序列x(n)和长度为N2的序列h(n)进行线性卷积，得到长度为N1+N2-1的y(n):

                                        

 

    离散圆周卷积的定义：圆周卷积是定义在有限长序列之间的。设有限长序列x(n)和h(n)的长度分别为N1和N2，取N>=max(N1,N2)，定义它们的N点圆周卷积为：

                                            

 

    圆周卷积定理：设有限长序列x(n)和h(n)的长度分别为N1和N2，取N>=max(N1,N2)，分别对x(n)和h(n)取N点的DFT，将结果取N点的IDFT得到y(n)，且y(n)=.

    圆周卷积定理建立起圆周卷积与DFT之间的关系，因此求圆周卷积只须用DFT进行计算即可，而DFT可用FFT实现。

    圆周卷积与线性卷积之间的关系：当有限长序列x(n)和h(n)的长度分别为N1和N2，取N>=max(N1,N2)，当N>=N1+N2-1，则线性卷积与圆周卷积相同。

    对于线性卷积，一般直接比较麻烦，由上可知当取点数足够多时（点数不够补零），可求解圆周卷积即可，而圆周卷积又可通过FFT实现，从而实现线性卷积通过FFT和IFFT实现。

  

用MATLAB实现

设x=[1 0 1 2 1]，h=[1 1 0 1 2]，分别计算它们的线性卷积，5点圆周卷积，9点圆周卷积，12点圆周卷积，得到结果如图：

图中应证了结果，当取N>=N1+N2-1时，线性卷积等于圆周卷积。

clear;
clc;
x=[1 0 1 2 1];n1=0:1:4;
h=[1 1 0 1 2];n2=0:1:4;
y=conv(x,h);n=0:1:8;
figure(1);
%subplot(311);stem(n1,x,\'.\');axis([0 10 0 7]);title(\'x(n)序列\');grid;
%subplot(312);stem(n2,h,\'.\');axis([0 10 0 7]);title(\'h(n)序列\');grid;
subplot(221);stem(n,y,\'.\');axis([0 10 0 7]);title(\'线性卷积后序列\');grid;

N=5;
x1=[x zeros(1,N-length(x))];
h1=[h zeros(1,N-length(h))];
y1=conv(x1,h1);

z1=[zeros(1,N) y1(1:(N-1))];
z2=[y1((N+1):(2*N-1)) zeros(1,N)];
z=z1(1:(2*N-1))+z2(1:(2*N-1))+y1(1:(2*N-1));
y2=z(1:N);
%figure(2);
subplot(222);stem((0:N-1),y2,\'.\');axis([0 12 0 8]);title(\'5点圆周卷积\');grid;

N=9;
x1=[x zeros(1,N-length(x))];
h1=[h zeros(1,N-length(h))];
y1=conv(x1,h1);

z1=[zeros(1,N) y1(1:(N-1))];
z2=[y1((N+1):(2*N-1)) zeros(1,N)];
z=z1(1:(2*N-1))+z2(1:(2*N-1))+y1(1:(2*N-1));
y2=z(1:N);
subplot(223);stem((0:N-1),y2,\'.\');axis([0 12 0 8]);title(\'9点圆周卷积\');grid;

N=12;
x1=[x zeros(1,N-length(x))];
h1=[h zeros(1,N-length(h))];
y1=conv(x1,h1);

z1=[zeros(1,N) y1(1:(N-1))];
z2=[y1((N+1):(2*N-1)) zeros(1,N)];
z=z1(1:(2*N-1))+z2(1:(2*N-1))+y1(1:(2*N-1));
y2=z(1:N);
subplot(224);stem((0:N-1),y2,\'.\');axis([0 12 0 8]);title(\'12点圆周卷积\');grid;