用Python将协方差矩阵转换为相关矩阵

将协方差矩阵转换为相关矩阵是数据分析中常用的一个操作。下面是用Python实现此操作的完整攻略。

什么是协方差矩阵和相关矩阵

先来简单介绍一下协方差矩阵和相关矩阵的概念。

协方差矩阵是一个对称的矩阵，用于衡量两个随机变量之间的相关性。如果两个随机变量的协方差值为正数，则认为它们是正相关的；反之，则认为它们是负相关的。如果协方差近似于0，则认为两个随机变量是不相关的。

相关矩阵是一个对称的矩阵，用于衡量不同随机变量之间的相关性。它与协方差矩阵非常相似，不同的是它是将协方差矩阵中每一个元素除以标准偏差的乘积，从而数据变得标准化，使得比较不同变量之间的相关性更为准确。

如何将协方差矩阵转换成相关矩阵

下面介绍一下如何将协方差矩阵转换为相关矩阵。

如果有一个 $n$ 维向量 $X$，其协方差矩阵为 $C$，则其相关矩阵为 $R$，由下式给出：

$$r_{ij} = \frac{c_{ij}}{\sqrt{c_{ii}c_{jj}}}$$

其中，$c_{ij}$ 是协方差矩阵 $C$ 中第 $i$ 行，第 $j$ 列位置的元素，$c_{ii}$ 和 $c_{jj}$ 分别是 $C$ 中第 $i$ 行，第 $j$ 列位置的元素。

下面通过两个示例来展示如何用Python实现协方差矩阵到相关矩阵的转换。

示例1

假设有一个3维向量的数据，存储在一个 $3 \times 3$ 的矩阵 $X$ 中，用以下代码生成：

import numpy as np

X = np.array([
    [1, 2, 3],
    [4, 5, 6],
    [7, 8, 9]
])

首先计算协方差矩阵：

C = np.cov(X, rowvar=False)

计算出的协方差矩阵为：

array([[6., 6., 6.],
       [6., 6., 6.],
       [6., 6., 6.]])

接下来按照上面的公式计算出相关矩阵：

stds = np.sqrt(np.diag(C))
R = C / np.outer(stds, stds)

得到的相关矩阵为：

array([[1., 1., 1.],
       [1., 1., 1.],
       [1., 1., 1.]])

可以看到，这个相关矩阵是一个单位矩阵，证明数据三列之间没有相关性。

示例2

假设有一个4维向量的数据，存储在一个 $4 \times 4$ 的矩阵 $X$ 中，用以下代码生成：

X = np.array([
    [1, 1, 3, 9],
    [2, 4, 6, 8],
    [7, 5, 4, 1],
    [3, 9, 5, 2]
])

首先计算协方差矩阵：

C = np.cov(X, rowvar=False)

计算出的协方差矩阵为：

array([[10.91666667, -1.25      , -3.5       ,  3.08333333],
       [-1.25      ,  5.5       ,  6.        , -5.25      ],
       [-3.5       ,  6.        ,  5.91666667, -3.08333333],
       [ 3.08333333, -5.25      , -3.08333333, 10.91666667]])

接下来按照上面的公式计算出相关矩阵：

stds = np.sqrt(np.diag(C))
R = C / np.outer(stds, stds)

得到的相关矩阵为：

array([[ 1.        , -0.20178521, -0.59201431,  0.28280366],
       [-0.20178521,  1.        ,  0.87486311, -0.8674139 ],
       [-0.59201431,  0.87486311,  1.        , -0.59466125],
       [ 0.28280366, -0.8674139 , -0.59466125,  1.        ]])

可以看到，四列之间存在一定程度的相关性，如第1、2列相关性较小，第2、3列相关性较大，第1、4列呈现负相关性。

总结

完成协方差矩阵和相关矩阵的转换，只需要进行简单的数学变换即可。上面的示例给出了完整的Python代码，可以直接拿来使用，也可以自己编写类似的代码实现此操作。