《机器学习基石》—正则化

本节涉及的知识点包括：

（1）所谓正则化，就是在原来的假设空间上加上一定限制条件；

（2）推导线性回归中引入L2正则；

（3）带正则化约束条件的问题 等价于 无约束的加正则项的augmented error；

（4）VC维解释正则的好处；

（5）选择一般正则项的三个原则；

（6）L1正则和L2正则的对比；

1 正则化的概念

所谓正则化假设空间，就是带有限制条件的假设空间。

 

 

2 线性回归引入正则化（岭回归）

引入正则化，就是对假设空间做一定的限制，也就是在原来的线性回归基础上加了约束条件：

这个问题是一个约束优化问题，可以根据KKT条件求解。这里我们从几何的角度来推导：

这里的红色圆圈，圆心表示原点，半径为C，显然w被约束在该圆形区域内。蓝色箭头是当前的负梯度方向，由于约束限制，w只能往梯度在圆形的切线方向上的分量进行更新。当w的方向与负梯度方向相同时，切线分量为0，就达到了在约束条件下的最优解。

即，最优的时候，w与负梯度成比例：

即：

其中λ大于0。这个式子也可以由KKT条件推出 。

 

上式中代入线性回归的梯度形式，可以求得最优解（其中λ是与C有关的量）：

 这个形式被称为岭回归。

 

 

3 正则项

从另一个角度看，上面的问题等价于直接在原来的损失函数中引入正则项，这样的损失函数称为augmented error：

由于λ是与C有关的量，那么我们不妨把λ当作参数。这样就用求解带正则项的augmented error代替了原来约束问题：

 

下面是不同的λ带来的正则化的效果：

 

在进行多项式转换时，使用legendre多项式可以构造一堆两两正交的基底，使得每个项对应的权重影响力是一样的：

 

 

4 VC维的解释

加入正则项，等效于带约束的Ein。也就是有效的假设空间比不加正则项的假设空间更小了，VC维更低，因此泛化能力更好。

 

5 一般正则化项

前面讲的正则项只是很多正则项的一种，称为L2正则项。事实上，我们还可以选择其它的形式作为正则项。选择正则项的时候，可以考虑以下三个方向：

（1）target-dependent ：如果知道目标函数的信息，就可以选择与它方向一致的正则项。例如已知目标函数是偶函数，就可以只对奇次方的权重做限制。

（2）可行性：正则项可以让我们选出一个平滑和简单的假设函数。

（3）易优化的：加上正则项之后，应该是一个容易求解的优化问题。

 

6 L1和L2正则对比

L1最后最优解一般会落在棱形的顶点上，因此通常是稀疏解。

 

此外，参数λ的选择是很重要的。下图给出了在不同的随机噪声和确定性噪声下的不同的λ带来的效果：

但是，噪声是不可知的，我们如何来选择合适的λ呢？这就是下一节 “验证”中要讲的了。