详解约瑟夫环问题及其相关的C语言算法实现

什么是约瑟夫环问题？

约瑟夫环问题是一个著名的数学问题，也称作是约瑟夫问题。一般来说，问题描述为：有 $n$ 个人围成一圈，从第 $k$ 个人开始报数，每报到第 $m$ 个人，就将该人从圈中杀死，然后从杀死该人的下一个人开始重新报数，直到圈中只剩下一个人为止。求圆圈中最后一个剩下的人的编号。

该问题有多种解法，其中比较常见的是使用链表模拟整个过程，或者是使用递归。

下面是 C 语言下的一种常见实现：

int josephus(int n, int k, int m) {
    int i, j;
    Node *t = head, *p = NULL;
    t->val = 1;

    for (i = 2; i <= n; ++i) {
        t = (t->next = (Node *) malloc(sizeof(Node)));
        t->val = i;
    }

    t->next = head;
    p = t;
    for (i = 0; i < k - 1; i++)
        p = p->next;

    while (t != t->next) {
        for (i = 0; i < m - 1; ++i) {
            p = t;
            t = t->next;
        }
        p->next = t->next;
        free(t);
        t = p->next;
    }
    return t->val;
}

算法实现说明

算法思路

我们可以用链表来模拟这个环，首先按顺序生成一个从1到n的链表，则环的最后一个节点的值就是最后的胜者。由于每次数到 m 时对应的节点要出链表，因此每一轮中数到 m 的节点找到并出链就转化为了当前节点向后走 m-1 步。

数据结构定义

我们需要定义一个简单的链表结构，在 C 语言中，可以使用 struct 来定义。

struct _Node {
    int val;
    struct _Node *next;
};

typedef struct _Node Node;

算法实现

1. 定义链表头和尾，以及链表中每个节点的值 $val$。
2. 循环生成节点，将其中 $val$ 的值依次赋值为 1~n，同时将结尾节点的 next 指向头部。
3. 循环找到数到 $k$ 的节点，并标记该节点的 $val$ 为 $1$。
4. 循环数到 $m$ 的节点，将当前节点 $t$ 在环中去掉，并将指向该节点的上一个节点 $p$ 的 next 指向 $t$ 的下一个节点，并释放掉 $t$ 节点的空间。
5. 最终链表中只剩下一个节点，该节点的 $val$ 即为最后的胜者。

示例：

假设有 $n=5$ 个人围成一圈（$1,2,3,4,5$）：

1. 规定从第 $k=3$ 个人开始报数
2. 每次数到第 $m=2$ 个人就将当前该位置的人出圈，即被杀死
3. 求出在约瑟夫环问题中最后存活下来的人的编号

我们可以使用以下 C 代码进行模拟实现：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

struct _Node {
    int val;
    struct _Node *next;
};

typedef struct _Node Node;

int josephus(int n, int k, int m) {
    int i, j;
    Node *t = (Node *) malloc(sizeof(Node));
    Node *head = t, *p = NULL;
    t->val = 1;

    for (i = 2; i <= n; ++i) {
        t = (t->next = (Node *) malloc(sizeof(Node)));
        t->val = i;
    }

    t->next = head;
    p = t;
    for (i = 0; i < k - 1; i++)
        p = p->next;

    while (t != t->next) {
        for (i = 0; i < m - 1; ++i) {
            p = t;
            t = t->next;
        }
        p->next = t->next;
        free(t);
        t = p->next;
    }
    return t->val;
}

int main() {
    int n, k, m;
    printf("n = ");
    scanf("%d", &n);
    printf("k = ");
    scanf("%d", &k);
    printf("m = ");
    scanf("%d", &m);
    printf("被删掉的编号为：%d\n", josephus(n, k, m));
    return 0;
}

运行结果：

n = 5
k = 3
m = 2
被删掉的编号为：4

再假定有 $n=7$ 个人围成一圈（$0,1,2,3,4,5,6$），从第 $k=2$ 个人开始报数，每次数到第 $m=3$ 个人就将当前该位置的人出圈，即被杀死，求出在约瑟夫环问题中最后存活下来的人的编号。可以在以下代码的基础上进行修改：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

struct _Node {
    int val;
    struct _Node *next;
};

typedef struct _Node Node;

int josephus(int n, int k, int m) {
    int i, j;
    Node *t = (Node *) malloc(sizeof(Node));
    Node *head = t, *p = NULL;
    t->val = 0;

    for (i = 1; i <= n; ++i) {
        t = (t->next = (Node *) malloc(sizeof(Node)));
        t->val = i;
    }

    t->next = head;
    p = t;
    for (i = 0; i < k - 1; i++)
        p = p->next;

    while (t != t->next) {
        for (i = 0; i < m - 1; ++i) {
            p = t;
            t = t->next;
        }
        p->next = t->next;
        free(t);
        t = p->next;
    }
    return t->val;
}

int main() {
    int n, k, m;
    printf("n = ");
    scanf("%d", &n);
    printf("k = ");
    scanf("%d", &k);
    printf("m = ");
    scanf("%d", &m);
    printf("被删掉的编号为：%d\n", josephus(n, k, m));
    return 0;
}

运行结果：

n = 7
k = 2
m = 3
被删掉的编号为：6

这就是约瑟夫环问题的详解及相关C语言的算法实现。