C++ 探讨奶牛生子的问题
问题描述
有 $N$ 只奶牛,每个奶牛的繁殖周期为 $M$ 年,每只奶牛出生后第 $1$ 年不生育,第 $2$ 年起每年生下一只小奶牛,小奶牛出生后第 $1$ 年也不能生育,第 $2$ 年起也可以生下一只小奶牛。假设所有的奶牛都没有死亡,请问 $T$ 年后一共有多少只奶牛?
解题思路
本题可以采用递归或者动态规划的方式进行求解。我们可以使用一个数组 $dp$ 来表示第 $i$ 年的奶牛数量,那么 $dp_i$ 与 $dp_{i-1}$ 的关系可以表示为:
$dp_i = dp_{i-1} + dp_{i-M}$
即今年的奶牛数量等于去年的奶牛数量加上 $M$ 年前的所有奶牛的数量。但是需要注意的是,$M$ 年前的奶牛可能已经死亡了,请确保只考虑在 $M$ 年前已经出生并且至今没有死亡的奶牛数量。
代码示例
递归实现
#include <iostream>
using namespace std;
// 奶牛的繁殖周期,每 $M$ 年生育
const int M = 3;
// 递归实现
int countCows(int year) {
if (year == 1 || year == 2) {
// 第一年和第二年没有新生的奶牛
return 1;
} else if (year < M) {
// 不足 $M$ 年时,只能计算前几年的生育
int count = 0;
for (int i = 1; i < year; i++) {
count += countCows(i);
}
return count + 1;
} else {
// 去年的奶牛数量加上 $M$ 年前出生并至今没有死亡的奶牛数量
return countCows(year - 1) + countCows(year - M);
}
}
int main() {
int T = 10;
cout << countCows(T) << endl;
return 0;
}
动态规划实现
#include <iostream>
using namespace std;
// 奶牛的繁殖周期,每 $M$ 年生育
const int M = 3;
int main() {
int T = 10;
int dp[T+1] = {0};
// 初始化,第一年和第二年都只有一只奶牛
dp[1] = 1;
dp[2] = 1;
// 递推求解
for (int i = 3; i <= T; i++) {
if (i < M) {
// 不足 $M$ 年时,只能计算前几年的生育
for (int j = 1; j < i; j++) {
dp[i] += dp[j];
}
dp[i] += 1;
} else {
// 去年的奶牛数量加上 $M$ 年前出生并至今没有死亡的奶牛数量
dp[i] = dp[i-1] + dp[i-M];
}
}
cout << dp[T] << endl;
return 0;
}
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