Matlab学习——求解微分方程(组)

什么是微分方程组？

微分方程组是指多个未知函数的微分方程组成的方程组，例如：

$$
\begin{aligned}
\frac{dy_1}{dt} &= f_1(t,y_1,y_2,\dots,y_n)\
\frac{dy_2}{dt} &= f_2(t,y_1,y_2,\dots,y_n)\
\cdots\
\frac{dy_n}{dt} &= f_n(t,y_1,y_2,\dots,y_n)
\end{aligned}
$$

其中，$y_1(t),\dots,y_n(t)$为未知函数，$t$为自变量，$f_1(t,y_1,y_2,\dots,y_n),\dots,f_n(t,y_1,y_2,\dots,y_n)$为已知函数。

在实际问题中，常常需要求解微分方程组，例如数学模型、物理模型、生物模型等领域。

如何求解微分方程组？

Matlab提供了多种方法求解微分方程组，其中最常用的方法是ode45和ode15s。这两种方法是基于常微分方程数值解的龙格-库塔法，具有精度高、适用范围广的特点，适用于绝大多数微分方程组求解。

例子

接下来，我们以一个简单的微分方程组为例，介绍如何使用Matlab求解微分方程组。

假设有如下微分方程组：

$$
\begin{aligned}
\frac{dx}{dt} &= -2x-3y+6\
\frac{dy}{dt} &= -x+4y-6
\end{aligned}
$$

其中，$x(0)=1,y(0)=1$。

以下是Matlab求解微分方程组的代码：

% 定义微分方程组
f = @(t,y) [-2*y(1)-3*y(2)+6; -y(1)+4*y(2)-6];

% 定义初值和时间区间
y0 = [1; 1];
tspan = [0, 10];

% 求解微分方程组
[t, y] = ode45(f, tspan, y0);

% 绘制图形
plot(t, y(:,1), t, y(:,2));
legend('x(t)', 'y(t)');

结果如下图所示：

可以看出，通过Matlab求解微分方程组，我们得到了$x$和$y$随时间的变化规律。

以上就是Matlab求解微分方程组的基本方法，希望对大家有所帮助。