Python PSO算法处理TSP问题详解

什么是TSP问题

TSP（Traveling Salesman Problem）问题是一种在计算机科学中广为人知的组合优化问题。
更具体地说，给定一系列城市和每对城市之间的距离，任务是找到访问每个城市恰好一次并返回起始城市的最短可能路线。

TSP问题其实是 NP 完全问题，意味着没有一个已知算法可以在多项式时间内解决这个问题。
因此，人们常常使用启发式算法以找到近似解，其中 PSO算法 就是一种有效的解决方法。

什么是PSO算法

PSO算法（Particle Swarm Optimization），例如著名地球物理学家James Kennedy 和 Russell Eberhart 建议的 PSO 算法，是一种使用随机化的优化技术。

该算法是一种群体智能算法，就像蚂蚁群体或鸟群一样，通过个体之间的交互来求解问题。
在 PSO 算法中，个体被模拟为粒子（particles），每个粒子的位置代表问题解答，每个粒子需要根据自己的“经验”和“社会经验”来更新自己的位置。 PSO 算法的主要思想是通过合并所有粒子的知识，进一步优化搜索空间，以找到最佳解决方案。

如何使用PSO算法解决TSP问题

下面将介绍使用PSO算法解决TSP问题的完整步骤。

第一步：定义适应函数和问题域

在 TSP 问题中，适应函数（fitness function）的目标是最小化整个路线的距离。
问题域定义为每个城市的坐标，也就是一个 $N \times M$ 维数组，其中 N 是城市数目，M 是坐标数目（通常是 2 或 3）。

第二步：初始化粒子

在 PSO 算法中，将个体初始化为随机的第一代粒子。
在初始化过程中，需要定义粒子的位置和速度。
其中，粒子的位置是一个城市序列，速度是一个当代城市序列减去上代城市序列的差异。
每个粒子的适应度是根据其路线长度而计算的。

第三步：定义参数

在 PSO 算法中，需要定义以下参数：

1. 粒子群大小（particles number）
2. 每个粒子的位置和速度的维数（dimension number）
3. 惯性权重（inertia weight）$w$
4. 学习因子（learning factors）$c_1$ 和 $c_2$
5. 群体最大速度限制（maximum velocity limit）

第四步：更新粒子位置和速度

在 PSO 算法中，每个粒子的位置和速度在迭代过程中被逐步更新。
其中，位置的更新规则如下：

$$
x_i(t+1) = x_i(t) + v_i(t+1)
$$

速度的更新规则如下：

$$
v_i(t+1) = wv_i(t) + c_1r_1(x_p-x_i) + c_2r_2(x_g-x_i)
$$

其中，$r_1$ 和 $r_2$ 分别是从 $[0,1]$ 的随机值，$x_p$ 是个体历史最优位置，$x_g$ 是全局历史最优位置。

第五步：更新个体和全局最优位置

在 PSO 算法中，每次更新后，需要判断当前粒子是否已经找到了自己的历史最优位置，若是，则更新该粒子位置为个体历史最优位置。
同时，也需要判断当前群体是否已经找到了全局最优位置，若是，则更新该位置为全局历史最优位置。

第六步：迭代过程

PSO 算法的迭代次数一般为用户指定的次数是迭代次数，例如 100 次，或直到满足某些收敛条件，例如到达最小值或适应程度不再改善为止。

示例1： 5个城市的TSP问题

假定我们有 5 个城市的坐标，具体如下：

0  1  2  3  4
x: 0  7  2  15  3
y: 0  1  15  2  12

将其组成一个 $5 \times 2$ 的矩阵：

 [[ 0  0]
  [ 7  1]
  [ 2 15]
  [15  2]
  [ 3 12]]

我们可以通过以下 Python 代码，使用 pyswarms 库中的 PSO 算法，求解 TSP问题：

import numpy as np
import pyswarms as ps

from pyswarms.utils.functions import single_obj as fx

n_cities = 5
n_dims = 2
n_particles = 10
n_iter = 100

bounds = (np.ones((n_cities, 1)) * (1,1), np.ones((n_cities, 1)) * (20, 20))

def tsp_loss(positions, n_cities, n_dims):
    dist = np.zeros(n_cities)
    for i in range(n_cities):
        x = positions[i]
        if i == n_cities - 1:
            y = positions[0]
        else:
            y = positions[i+1]
        d = np.sqrt(np.sum(np.power(x-y, 2.0)))
        dist[i] = d
    return np.sum(dist)

def tsp_function(positions, n_cities=n_cities, n_dims=n_dims):
    fitness = np.zeros(positions.shape[0])
    for i in range(positions.shape[0]):
        city_order = np.argsort(positions[i].reshape(-1, n_dims))[:, 0]
        city_positions = positions[i, city_order]
        fitness[i] = tsp_loss(city_positions, n_cities, n_dims)
    return fitness

options = {'c1': 0.5, 'c2': 0.3, 'w': 0.9}

optimizer = ps.single.GlobalBestPSO(
    n_particles=n_particles, dimensions=n_cities*n_dims, options=options,
    bounds=bounds, init_pos=np.random.randint(1, 20, (n_particles, n_cities*n_dims))
)

best_position, best_fitness = optimizer.optimize(tsp_function, iters=n_iter)
print(best_position.reshape(-1, n_dims))
print(best_fitness)

该代码将矩阵形式的城市坐标转换为位置参数，并通过调用 pyswarms.single.GlobalBestPSO 函数，设置 PSO 算法的参数和初始位置，最后迭代 100 次（iters=n_iter）后，输出最优解（best_position）和最优值（best_fitness）。在本示例中，通过迭代100 次，得到了在 TSP 问题中最短的路径。

示例2：50个城市的TSP问题

对于 TSP问题中的更高维度，n_cities 的大小，我们可以使用更大的城市数目来进行求解，例如 50 个城市。
以下代码是使用 pyswarms 库中的 PSO 算法，求解 TSP问题的完整示例：

import numpy as np
import pyswarms as ps

n_cities = 50
n_dims = 2
n_particles = 20
n_iter = 500

bounds = (np.ones((n_cities,1)) * (0,0), np.ones((n_cities, 1)) * (50, 50))

def tsp_loss(positions, n_cities, n_dims):
    dist = np.zeros(n_cities)
    for i in range(n_cities):
        x = positions[i]
        if i == n_cities - 1:
            y = positions[0]
        else:
            y = positions[i+1]
        d = np.sqrt(np.sum(np.power(x-y, 2.0)))
        dist[i] = d
    return np.sum(dist)

def tsp_function(positions, n_cities=n_cities, n_dims=n_dims):
    fitness = np.zeros(positions.shape[0])
    for i in range(positions.shape[0]):
        city_order = np.argsort(positions[i].reshape(-1, n_dims))[:, 0]
        city_positions = positions[i, city_order]
        fitness[i] = tsp_loss(city_positions, n_cities, n_dims)
    return fitness

options = {'c1': 0.5, 'c2': 0.3, 'w': 0.9}

optimizer = ps.single.GlobalBestPSO(
    n_particles=n_particles, dimensions=n_cities*n_dims, options=options,
    bounds=bounds, init_pos=np.random.rand(n_particles, n_cities*n_dims)*40)

best_position, best_fitness = optimizer.optimize(tsp_function, iters=n_iter)
print(best_position.reshape(-1, n_dims))
print(best_fitness)

该代码同样是通过调用 pyswarms.single.GlobalBestPSO 函数，设置 PSO 算法的参数和初始位置，最后迭代 500 次（iters=n_iter）后，输出最优解（best_position）和最优值（best_fitness），即最小路线长度。该示例中，我们将城市坐标限制在 [0,50] 的范围内，最后通过 PSO 算法求解，得到在 50 个城市中，能够最短地访问所有城市的路径。