深入N皇后问题的两个最高效算法的详解

让我来详细讲解一下“深入N皇后问题的两个最高效算法的详解”。

算法一：位运算

算法思路

基于位运算的 N 皇后问题算法，是一种高效的算法。其核心思路在于将每行、每列、每条对角线（包括左上角至右下角、右上角至左下角）都用一个二进制数来表示，通过位运算的方式来判断该位置是否可以放皇后。 其中，用两个 int 类型的变量 col 和 ld 来表示列和左对角线（左上角至右下角），用一个 int 类型的变量 rd 来表示右对角线（右上角至左下角），每次检查时，将该位置的列、左对角线和右对角线分别表示为 1 的二进制数，然后通过位运算进行判断是否满足皇后不互相攻击的条件。

示例说明

假设我们要解决 8 皇后问题，即在一个 8 x 8 的棋盘上放 8 个皇后且每个皇后不会互相攻击。来看一个具体的示例：

首先，定义三个 int 类型的变量 col、ld 和 rd，分别表示列、左对角线和右对角线，对于 8 皇后问题，需要定义一个大小为 8 的 int 数组 board 来记录每行中皇后所在的列数。初始化 col、ld、rd 均为 0，表示所有位置都可以放皇后。随后，从第 0 行开始遍历，每次都检查该位置的列、左对角线和右对角线，若均未被占据，则将皇后放置在该位置，并更新 col、ld 和 rd 的值，继续遍历下一行。如果后续无法找到可行的放置位置，则要回退到上一层，重新寻找下一个可行位置。

具体的实现代码可以参考以下示例：

def solveNQueens(n):
    """
    :type n: int
    :rtype: List[List[str]]
    """
    def dfs(queens, xy_dif, xy_sum):
        # 终止条件
        p = len(queens)
        if p == n:
            result.append(queens)
            return None
        # 回溯
        for q in range(n):
            # 判断当前位置是否可行
            if q not in queens and p-q not in xy_dif and p+q not in xy_sum:
                # 将皇后放置在该位置，并在列、左对角线和右对角线中标记为不可用
                dfs(queens+[q], xy_dif+[p-q], xy_sum+[p+q])

    result = []
    dfs([], [], [])
    # 格式化输出
    return [ ['.'*i + 'Q' + '.'*(n-i-1) for i in row] for row in result]

算法二：迭代加深搜索

算法思路

另一种高效的算法是基于迭代加深搜索的方法。迭代加深搜索是一种剪枝策略，可以有效提高搜索效率。具体思路是：从深度为 1 开始，每次递增深度，直到找到一个可行解，或者搜索到最大深度，然后回退到上一层继续遍历。

在 N 皇后问题中，可以将棋盘中每个格子看做一个节点，每次遍历时，从当前的节点开始，向下遍历该节点的子节点，然后判断是否可以放皇后，如果不行，则回退到该节点的兄弟节点，再尝试其他子节点。在搜索过程中，需要用一些剪枝策略来减少不必要的搜索步骤。

示例说明

再以 8 皇后问题为例，来看一下如何使用迭代加深搜索算法进行求解。

首先，从深度为 1 开始进行搜索。对于每个格子，遍历其所在的行中所有列，如果可以放皇后，则将皇后放置在该位置，并继续向下遍历下一行。重复这一过程，直到所有行都可以放置皇后，或者无法找到可行的位置。如果无法找到解，则回退到上一层，重新遍历其他可能的子节点。

当深度为 2 时，需要在已放置皇后的位置中添加新皇后，并判断是否与其他皇后冲突。如果存在冲突，则回退到上一层，重新寻找其他子节点。依次递增深度，直到找到可行的解，或者搜索到最大深度（即 8），结束搜索。

具体的实现代码可以参考以下示例：

def solveNQueens(n):
    """
    :type n: int
    :rtype: List[List[str]]
    """
    # 判断是否存在冲突
    def conflict(state, col):
        row = len(state)
        for i in range(row):
            # 检查列、左上角和右上角是否有皇后
            if abs(state[i]-col) in (0, row-i):
                return True
        return False

    # 迭代加深搜索
    def dfs(state, row):
        # 终止条件
        if row == n:
            result.append(state)
            return None
        # 遍历当前行
        for col in range(n):
            if not conflict(state, col):
                # 当前位置未被占据，放置皇后
                dfs(state+[col], row+1)

    result = []
    dfs([], 0)
    # 格式化输出
    return [ ['.'*i + 'Q' + '.'*(n-i-1) for i in row] for row in result]