什么是敏感性分析
- 一阶指数：度量单个模型输入对输出方差的贡献
- 二阶指数：度量两个模型输入的相互作用对输出方差的贡献
- 总阶指数：度量模型输入对输出方差的贡献，包括一阶及更高阶
什么是SALib
SALib是一个基于python进行敏感性分析的开源库，SALib提供一个解耦的工作流，意味着它不直接与数学或计算模型交互，SALib 负责使用其中一个采样函数（sample functions）生成模型输入，并使用其中一个分析函数（analyze functions）计算模型输出的灵敏度指数。使用 SALib 进行敏感性分析遵循四个步骤：
- 确定模型输入（参数）及采样范围
- 运行采样函数生成模型输入
- 使用生成的输入评估模型，保存模型输出
- 基于模型输出运行分析函数计算敏感性指数SALib提供了几种灵敏度分析函数，如Sobol，Morris和FAST。有许多因素决定了哪种方法适用于特定应用。但是无论选择哪种方法，都只需要用到两种函数：sample，analyze
案例1
对Ishigami function进行Sobol敏感性分析，因为Ishigami函数表现出很强的非线性和非单调性，所以常用来测试不确定性和敏感性分析方法
1.导入库
SALib的采样和分析存储在不同的模块中，例如导入saltelli采样函数和sobol分析函数，使用Ishigami作为测试函数，numpy用于存储模型输入和输出
from SALib.sample import saltelli from SALib.analyze import sobol from SALib.test_functions import Ishigami import numpy as np
2.定义模型输入
problem = { 'num_vars':3, 'names':['x1','x2','x3'], 'bounds':[[-3.14159265359, 3.14159265359], [-3.14159265359, 3.14159265359], [-3.14159265359, 3.14159265359]] }
3.生成样本
使用saltelli生成样本
param_values = saltelli.sample(problem,1024)
param_values是一个numpy矩阵，其大小为(8192, 3)，saltelli会生成N*(2D+2)个样本，其中N=1024（传入参数），D=3（模型输入数量）。参数calc_second_order=False表示不包括二阶指数，采样数变为N*(D+2)
param_values
array([[-3.13238877, -0.77619428, -0.32827189], [-0.08283496, -0.77619428, -0.32827189], [-3.13238877, 0.3589515 , -0.32827189], ..., [-0.93572828, 0.80073797, 0.99095159], [-0.93572828, 0.81914574, 2.70901007], [-0.93572828, 0.81914574, 0.99095159]])
param_values.shape
(8192, 3)
4.运行模型
SALib不直接参与数学或计算模型的评估，如果模型是用python书写，可以直接循环遍历每个样本输入和评估模型
Y = np.zeros([param_values.shape[0]]) for i,X in enumerate(param_values): Y[i] = evaluate_model(X)
如果模型不是python书写，可以保存模型的输入输出
np.savetext('param_values.txt',param_values) Y = np.loadtxt('outputs.txt',float)
本例中使用Ishigami函数评估样本数据
Y = Ishigami.evaluate(param_values)
Y
array([ 3.426362 , 3.3527401 , 0.85463176, ..., 2.72470174,
-1.40463805, 2.85339365])
5.分析
在得到模型的输出后可以计算敏感性指数。本例中使用sobol.analyze，会计算一阶，二阶和总阶指数
Si = sobol.analyze(problem,Y,print_to_console=True)
ST ST_conf x1 0.555860 0.080045 x2 0.441898 0.034177 x3 0.244675 0.025569 S1 S1_conf x1 0.316832 0.068707 x2 0.443763 0.046636 x3 0.012203 0.064176 S2 S2_con (x1, x2) 0.009254 0.093058 (x1, x3) 0.238172 0.111655 (x2, x3) -0.004888 0.066105
Si是一个字典，关键词有"S1", “S2”, “ST”, “S1_conf”, “S2_conf”, and “ST_conf”。_conf存储相应的置信区间，置信水平在95%。可以使用print_to_console=True 打印所有的指数，或者直接取键值。
Si
{'S1': array([0.31683154, 0.44376306, 0.01220312]),
'S1_conf': array([0.06314249, 0.05230396, 0.05764901]),
'ST': array([0.55586009, 0.44189807, 0.24467539]),
'ST_conf': array([0.08582851, 0.04184123, 0.02424759]),
'S2': array([[ nan, 0.00925429, 0.23817211],
[ nan, nan, -0.0048877 ],
[ nan, nan, nan]]),
'S2_conf': array([[ nan, 0.08325501, 0.10813299],
[ nan, nan, 0.06117807],
[ nan, nan, nan]])}
print(Si['S1'])
[0.31683154 0.44376306 0.01220312]
可以看出x1和x2表现出了一阶灵敏性，但是x3没有一阶效应
如果总阶指数基本上比一阶指数大，则可能发生了高阶交互作用，可以查看二阶指数
print('x1-x2:',Si['S2'][0,1]) print('x1-x3:',Si['S2'][0,2]) print('x2-x3:',Si['S2'][1,2])
x1-x2: 0.00925429303490799 x1-x3: 0.2381721095685646 x2-x3: -0.004887704633467273
x1和x3之间有较强的交互，有时也会出现计算误差，如x2-x3指数为负，随着样本的增加，这些误差会缩小。
输出也可以变成Pandas DataFrame从而进行其它分析
total_si,first_si,second_si = Si.to_df()
second_si
6.绘图
为了方便起见，SALib提供了基本的绘图功能
Si.plot()
案例2
参数a，b将接受敏感性分析，但是x不会
首先导入需要的库
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from SALib.sample import saltelli from SALib.analyze import sobol
定义抛物线函数
def parabola(x,a,b): return a + b*x**2
字典描述只包含a，b的问题
problem = { 'num_vars':2, 'names':['a','b'], 'bounds':[[0,1]]*2 }
采样，评估，分析。此例中选举100个x的取值，针对需要进行敏感性分析的a,b的每个样本（共384个）计算y值，因此y的大小为(384, 100)
param_values = saltelli.sample(problem,2**6) print(param_values.shape)
(384, 2)
x = np.linspace(-1,1,100) y = np.array([parabola(x,*params) for params in param_values])
print(x.shape) print(y.shape)
(100,)
(384, 100)
print(y)
[[0.421875 0.40593913 0.39032847 ... 0.39032847 0.40593913 0.421875 ] [1.21875 1.20281413 1.18720347 ... 1.18720347 1.20281413 1.21875 ] [0.859375 0.82594091 0.79318915 ... 0.79318915 0.82594091 0.859375 ] ... [0.640625 0.61531508 0.59052169 ... 0.59052169 0.61531508 0.640625 ] [1.21875 1.19219021 1.16617246 ... 1.16617246 1.19219021 1.21875 ] [1.1875 1.16219008 1.13739669 ... 1.13739669 1.16219008 1.1875 ]]
此例中的敏感性指数是一个长度为100的列表，每个元素是一个如上例中的字典
sobol_indices = [sobol.analyze(problem,Y) for Y in y.T] sobol_indices[0]
{'S1': array([0.49526584, 0.49526584]),
'S1_conf': array([0.17061222, 0.21853518]),
'ST': array([0.49745084, 0.49672251]),
'ST_conf': array([0.15376801, 0.16325137]),
'S2': array([[ nan, 0.00436999],
[ nan, nan]]),
'S2_conf': array([[ nan, 0.39998034],
[ nan, nan]])}
len(sobol_indices)
100
接下来单独分析每个x对应的指数，提取一阶指数绘图
# 提取100个a,b一阶指数 S1s = np.array([s['S1'] for s in sobol_indices]) fig = plt.figure(figsize=(10,6),constrained_layout = True) gs = fig.add_gridspec(2,2) ax0 = fig.add_subplot(gs[:,0]) ax1 = fig.add_subplot(gs[0,1]) ax2 = fig.add_subplot(gs[1,1]) for i,ax in enumerate([ax1,ax2]): ax.plot(x,S1s[:,i], label=r'S1$_mathregular{{{}}}$'.format(problem["names"][i]), color = 'black') ax.set_xlabel('x') ax.set_ylabel('First-order Sobol index') ax.set_ylim(0,1.04) ax.yaxis.set_label_position("right") ax.yaxis.tick_right() ax.legend(loc='upper right') ax0.plot(x,np.mean(y,axis=0),label="Mean", color='black') prediction_interval = 95 ax0.fill_between(x, np.percentile(y, 50 - prediction_interval/2., axis=0), np.percentile(y, 50 + prediction_interval/2., axis=0), alpha=0.5, color='black', label=f"{prediction_interval} % prediction interval") ax0.set_xlabel("x") ax0.set_ylabel("y") ax0.legend(title=r"$y=a+bcdot x^2$", loc='upper center')._legend_box.align = "left" plt.show()
左图为每个x对应不同a,b取值下y的均值以及95%置信区间，右图为参数a,b的一阶指数。由图可知，在x=0时，y完全由参数a决定，参数b由于x而消失，x的绝对值越大，参数b对变化贡献越大，参数a相应越小
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