C语言解决青蛙跳台阶问题(升级版)

我们来讲解一下C语言如何解决青蛙跳台阶问题的升级版。

问题描述

青蛙跳台阶问题是经典的递归问题，其升级版要求在每次跳跃中可以跳1、2、3……n级台阶，问跳上n阶台阶有多少种跳法。

解题思路

在解决青蛙跳台阶问题的升级版时，我们可以将问题转化为数学模型，假设 f(i) 表示跳上第 i 阶台阶需要的跳跃方法数，则有如下公式：

f(i)=f(i-1)+f(i-2)+......+f(i-n)

其中，n 为最大可跳跃的台阶数。

因为每次跳跃都只跳 1、2、3……n 级台阶，所以可以看做在 i-1、i-2、......、i-n 的台阶上跳 1、2、3……n 级，将他们所有可能的跳法的数量相加即可。如果我们把 f(0) 定义为 1，则 f(i-1) 表示从 i-1 阶跳 1 级台阶到达 i 阶，而 f(i-2) 表示从 i-2 阶跳 2 级台阶到达 i 阶，依次类推。这样递归下去，就能得出跳上 n 阶台阶需要的跳跃方法数。

代码实现

我们可以通过以下代码实现上述算法：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int jump(int n) {
    if (n == 0 || n == 1){
        return 1;
    }

    int a[n];
    a[0] = 1;
    a[1] = 1;

    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        a[i] = 0;
        for (int j = 1; j <= i && j <= n; ++j) {
            a[i] += a[i-j];
        }
    }

    return a[n];
}

int main() {
    int n = 5;
    int res = jump(n);
    printf("跳上 %d 阶台阶的跳法数为：%d\n", n, res);

    n = 10;
    res = jump(n);
    printf("跳上 %d 阶台阶的跳法数为：%d\n", n, res);

    return 0;
}

代码说明

1. 首先定义了一个 jump 函数，该函数接受一个参数 n，并返回跳上 n 阶台阶需要的跳跃方法数。
2. 接下来对输入的参数 n 进行判断，如果 n 为 0 或 1，则直接返回 1，因为在跳上 0 阶或 1 阶台阶的情况下，只有一种跳跃方法。
3. 定义一个数组 a，用于保存每个台阶的跳跃方法数，数组长度为 n+1。
4. 在数组中初始化 a[0] 和 a[1] 的值为 1，因为在跳上 0 阶和 1 阶台阶时，只有一种跳跃方法。
5. 使用双层循环遍历数组，依次计算跳上每个台阶的跳法，具体方法为：假设现在要计算第 i 个台阶的跳法数，那么需要求出 i-1、i-2、......、i-n 台阶上跳 1、2、......、n 级台阶到达 i 的方法数。需要注意的是，在这个过程中需要限制 j 的范围不超过 n，否则超出数组范围会导致越界错误。
6. 返回数组 a 中第 n 个元素的值，即为跳上 n 阶台阶的跳法数。

示例说明

假设 n=5，则可以跳上 5 阶台阶的跳法数为 13，具体解释如下：

跳 1 阶台阶：有 1 种方法
跳 2 阶台阶：有 2 种方法
跳 3 阶台阶：有 4 种方法
跳 4 阶台阶：有 8 种方法
跳 5 阶台阶：有 13 种方法

又假设 n=10，则可以跳上 10 阶台阶的跳法数为 274，具体解释如下：

跳 1 阶台阶：有 1 种方法
跳 2 阶台阶：有 2 种方法
跳 3 阶台阶：有 4 种方法
跳 4 阶台阶：有 8 种方法
跳 5 阶台阶：有 16 种方法
跳 6 阶台阶：有 32 种方法
跳 7 阶台阶：有 64 种方法
跳 8 阶台阶：有 128 种方法
跳 9 阶台阶：有 256 种方法
跳 10 阶台阶：有 274 种方法

经过计算，我们得到了正确的结果。