【DL学习笔记】3：循环神经网络(Recurrent Neural Network)

1 序列数据表示

1.1 简述

语音、文字等有先后顺序，属于序列数据，将时序列据表达为能处理的形式就叫Sequence Representation。如对文字而言，PyTorch中没有对string的支持，所以要将其表示成数值形式，相应的方法就是Word Embedding。

通常将一个序列表示为[元素数、每个元素的向量长]的Tensor形式：
$[seq_len, feature_len]$

注意，这个表示方法对不同的具体序列数据的类型有不同的具体解释，上面的seq_len既是序列的长度，也是序列的特征的数量，因为序列中每个元素就是序列的一个特征，所以也可以理解成feature_num。

1.1.1 文本数据

例如，每句话有5个单词，每个单词表示为长度100的词向量，那么一句话表示为Tensor后的shape就是[5,100]了。

1.1.2 数值数据

例如，房价时序数据，有100个月的房价，每个月的房价是一个数值，那么一个房价时序数据的Tensor的shape就应该是[100,1]。房价本身就是一个可以处理的数值数据，也就不需要做embedding了。

1.1.3 数字图像数据

数字图像数据可以用前面的CNN处理，但是也可以从扫描数字图像的角度来处理。看图片可以是逐行扫描的，那么图片从上到下就成了一个序列数据，每行是序列中的一个特征。如28*28的图像数据，每次扫描一行作为序列中的一个元素，其作为序列数据的Tensor的shape就是[28,28]（28个特征，每个特征是28个像素值组成的向量）。

不过强行这样处理也往往没有CNN那样做得更好。

1.2 加入batch size后的序列数据

为了训练效率，每次输入的不一定是一个序列样本，可以是多个序列样本，也就要在Tensor里加入一个batch size的维度b，这样输入的Tensor的shape可以有下面两种表示法：

$[seq_len, b, feature_len]$
$[b, seq_len, feature_len]$

其中b就是一次送入多少个序列。这两种方式中前面一种是比较常用的，因为最外层循环的就应该是一个个特征（特征数即序列长度）。如给出三条房价曲线，都是100个月的房价，那么就是月份编号从0到99，样本从0到2，房价维度是1。

具体使用哪种方式存储数据，在PyTorch中只要使用batch_front标志位即可。

2 循环神经网络

循环(Recurrent)神经网络将序列数据从时间上展开处理。以下简称循环网络，为了避免和递归神经网络混淆，不使用RNN这个简称。循环网络可以用于序列数据的分析、生成和转换。

2.1 共享参数的引入

对于序列数据最直观的处理方法是对序列中的每个特征单独处理，如下图，是对一句话的每个词向量用独立的线性层处理，最后再将结果聚合：
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但这样的处理方式会带来两个问题：

参数量太大，因为序列可能很长（如长句子序列会有很多单词）
没有使用前面时刻的语境信息（如句子"喜欢"和"不喜欢"意思是不一样的）

可以采用权值共享的方式，所有的特征共享权值矩阵 $W$ 和偏置 $b$ ：
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这样可以解决上面的第一个问题，但是这样做对语境信息处理得还不好。

2.2 循环网络的结构

循环网络和传统的前馈式网络的区别就是，循环网络的输入是分散在各个时刻上的，而不是一次性输入的。
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图中所有的A都是同一个处理单元，里面的运算是一样的，参数也是共享的。 $h_{i-1}$ 保存了网络在 $i$ 时刻之前学习到的语境信息，具体地，每层综合之前信息和当前输入计算得到 $h_i$ ：
$h_i = Tanh(Ucdot h_{i-1} + Wcdot x_i + b)$

其中 $Ucdot h_{i-1}$ 部分即是对之前的信息的处理，而 $Wcdot x_i + b$ 则是对新输入的特征 $x_i$ 的处理。这就需要一个 $h$ 单元用来保存语境信息，最开始可以将其初始化为全0的Tensor。

而这一层的输出 $y_i$ 是可选的，有的循环网络中有输出，有的可以没有输出。最简单的方式就是用感知器的方式，对 $h_i$ 进行一个线性层处理再**一下：
$y_i = sigma(W_o cdot h_i + b_o)$

这样的循环网络叫Elman网络，目前用得较少了。

3 循环网络下的语言模型

3.1 n-gram模型

如对句子 $S=w_1w_2...w_n$ ，估算句子出现概率 $P(S)$ ，可以将其用条件概率分解：
$begin{aligned}P(S) &= P(w_1w_2...w_n) \&= P(w_1)P(w_2 | w_1)...P(w_n | w_1w_2...w_{n-1})end{aligned}$

可见其中存在 $P(w_n | w_1w_2...w_{n-1})$ 这样的项，这样的项条件部分太多，在现实中没法做到准确的估计，可以在一定程度上进行独立性假设，n元文法(n-gram)模型就是解决类似的问题，例如：
$P(w_n | w_1w_2...w_{n-1}) approx P(w_n | w_1w_2)$

即是认为一个词的出现仅依赖于前面的两个词，这样就是三元文法(Tri-gram)模型。

3.2 困惑度(Preplexity)

困惑度是评价训练好的语言模型的一种理论方法，对测试集中的数据 $D=w_1w_2...w_n$ ，困惑度的计算方法是：
$PPL(D) = 2^{- frac{1}{N} sum_{i}^n log_2p(w_i)}$

困惑度本质上是测试数据上的经验分布 $p$ 和模型上的概率分布 $q$ 的交叉熵：
$H(tilde{p}, q) = - sum_{x} p(tilde{x}) cdot log_2q(x)$

3.3 循环网络的语言模型结构

使用循环网络构建语言模型，输入和输出都是自然语言的词，上一时刻的输出直接作为下一时刻的输入：
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图中特殊词<bos>表示begin of sentence，相应的还有<eos>在句子结尾。

在语言模型中，因为每个时刻要输出的 $y_i$ 需要是一个概率分布，以来表达输出的是每个词的概率，所以不能再像前面的Elman网络那样使用sigmoid**，而是采用softmax来将输出归一化成多类的概率向量的形式：
$y_i = softmax(V cdot h_i + b_o)$

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在类别只有两类的时候，softmax和sigmoid是等价的，但是显然语言中的词汇有很多很多，不止两类。

4 循环网络的参数训练——BPTT算法

BPTT算法，即梯度在循环网络中按时间线回传，以更新网络中的参数。

4.1 每个时刻单独优化(旧的方法)

要进行参数训练，可以用SGD，这就要为循环网络定义一个损失函数。以前面的语言模型为例，最开始时刻的输入是 $y_0$ ，输出是 $y_1$ （会作为下一时刻的输入），那么想要最大化的就是在参数 $theta$ 情形下，输入 $y_0$ 时输出为 $y_1$ 的概率，即最大化 $P(y_1 | y_0,theta)$ ，所以可以将损失函数定义为对数似然度的相反数：
$J(y_1,y_0)=-log P(y_1 | y_0,theta)$

在训练时就是去优化模型的参数 $theta$ 使得损失函数越小越好：
$theta^* = argmin_{theta} J(y_1,y_0)$

李沐老师在这里特别提到，对softmax本身求梯度比较复杂，但和对数似然函数的损失函数复合之后(softmax log-loss)的梯度的梯度却比较简单：

$begin{aligned}frac{partial J}{partial x_i} =begin{cases}p(y_t)-1, y_t neq label \p(y_t)-0, y_t = labelend{cases}end{aligned}$

它就等于期望输出这个词的概率，减去当前是否是输出这个词。也就是说在梯度下降中的调整正好是当前值和目标值的差。

在最初的循环网络中，计算损失和计算梯度都是按时刻依次计算的 ，先算第一个时刻再算第二个时刻。而从第二个时刻开始，就会开始涉及上一时刻的计算图，如下图：
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这时还要将梯度从 $y_1$ 传到 $y_0$ 的部分，来更新网络参数，所以这个算法叫BPTT(Back Propagation Through Time)，即是经过时间线来反向传播。

同理，在第三个时刻，有：
$J(y_3 | y_2,y_1,y_0)=-log P(y_2 | y_2,y_1,y_0,theta)$

4.2 整体优化(新的方法)

有了计算图工具，不用一个时刻一个时刻的分别计算梯度，可以把整个计算图做完，把所有的损失加在一起，求出一个总的损失再整体优化循环网络：

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以图中序列长为3为例，总的损失为：
$J(y_3 | y_2,y_1,y_0)=J(y_1 | y_0) + J(y_2 | y_0,y_1) + J(y_3 | y_0,y_1,y_2)$

优化模型参数 $theta$ 以最小化损失：
$theta^* = argmin_{theta} J(y_3,y_2,y_1 | y_0,theta)$

最终的优化结果和4.1中的单独优化的结果是等价的。但这样可以简化程序（把计算图搭建完一步计算梯度）、提高效率（4.1中的方法较前面的层要更新很多次，但用现在的方法只要更新一次）。

5 梯度消失/梯度爆炸问题

循环网络训练过程中，把梯度从最后的时刻传到最前面的时刻，要经过的传导路径很长，也就是链式法则展开后是非常多的偏导数相乘，如前面的序列长为3的例子中：
$frac{partial J}{partial y_0} = frac{partial J}{partial h_3} cdot frac{partial h_3}{partial h_2} cdot frac{partial h_2}{partial h_1} cdot frac{partial h_1}{partial y_0}$

所以就可能导致梯度消失和梯度爆炸问题，后面会学习的LSTM就较好的解决了这个问题。

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