Andrew Ng机器学习算法入门((六):多变量线性回归方程求解

多变量线性回归

之前讨论的都是单变量的情况。例如房价与房屋面积之前的关系，但是实际上，房价除了房屋面积之外，还要房间数，楼层等因素相关。那么此时就变成了一个多变量线性回归的问题。在实际问题中，多变量的线性回归问题是更加常见的。
下面这个例子就是表明了我上面所说的情况。

之前的单变量线性回归的问题，最后求解得到的是一个线性方程。那么在多变量线性回归中，得到的是：

其中X，theta都是一个n阶向量。那么最后的表示方式就变为了：
h 是theta的转置与X的乘积。

多变量梯度下降

和单变量的线性回归方程一样，我们同样会存在一个多变量的线性回归方程。同时也存在一个对应的代价函数。下面就是一个多变量的代价函数。

代价函数的求法同样是根据梯度下降的方式来进行求解。

下面这张图的足有两个公式分别显示了不同的情况，左右是一个最基础的情况，只有两个参数。而右边就是常见的多变量的梯度下降的函数。

相信上面这两张图已经将区别和联系表现出来了。

梯度下降算法实践1——特征缩放

在多变量的梯度下降算法中，如果多个变量能够在同一个或者是相近的区间范围内，这样就很方便问题的求解。当然前提是知道多变量的实际的取值范围。
在房屋的例子中，假设我们是研究房价与房屋大小和房屋房间数量的关系。同时我们知道房屋大小和房间数量间的关系，如房屋大小是位于0-2000英寸，房间数量是1-5。那么我们最后得到的轮廓函数为:

但是如果我们将所有参数x1和x2都的取值都进行标准化，例如集中到[0,1]之间，那么最后轮廓函数变为:

标准化算法也有很多，最简单的方式是：

梯度下降算法实践2——学习率

梯度下降算法的特征缩放考虑的是将变量进行标准化，而学习率考虑的是学习率的大小问题。之前就讨论过，如果学习率过大，则可能无法收敛。如果学习率较小，则迭代次次数过大。
正常的情况下，一般是通过绘制迭代次数和代价函数的图表来观测合适收敛，如下：

也有一些自动测试是否收敛的方法，例如将代价函数的变化值与某个阀值（例如 0.001）
进行比较，但通常看上面这样的图表更好。
通过图表观察，需要注意的问题是，迭代的次数收到学习率a的影响。
一般情况，学习率的选择如下:
0.01，0.03，0.1，0.3，1，3，10

总结

本次的课程，还是比较简单易懂的，都是理论上面的问题，也无须编程实现。

为了能到远方，脚下的每一步都不能少