python使用梯度下降和牛顿法寻找Rosenbrock函数最小值实例

这里将详细讲解如何使用 Python 中的梯度下降和牛顿法来寻找 Rosenbrock 函数的最小值。先介绍一下 Rosenbrock 函数，它是一个二元函数，公式如下：

$$ f(x,y)=(a-x)^2+b(y-x^2)^2$$

其中 $a=1$，$b=100$。该函数在 $(1,1)$ 处取得最小值 0，但其具有非常强的而且复杂的山峰结构，因此很难找到其全局最小值。下面将分别用梯度下降和牛顿法来寻找该函数的最小值。

梯度下降法

梯度下降法是一种基于负梯度方向调整参数的优化算法。对于 Rosenbrock 函数，我们将通过调整参数 $x$ 和 $y$ 来使函数值最小化。具体步骤如下：

1. 定义目标函数

要使用梯度下降法，首先要定义 Rosenbrock 函数的 Python 实现：

def rosenbrock(x, y):
    a = 1
    b = 100
    return (a - x) ** 2 + b * (y - x ** 2) ** 2

1. 计算梯度

使用 Sympy 来计算 Rosenbrock 函数的梯度，代码如下：

import sympy

x, y = sympy.symbols('x y')
rosenbrock_sympy = (1 - x) ** 2 + 100 * (y - x ** 2) ** 2
grad = [sympy.diff(rosenbrock_sympy, x), sympy.diff(rosenbrock_sympy, y)]
gradient = sympy.lambdify((x, y), grad)

这段代码将 Rosenbrock 函数的符号表达式（使用 Sympy）转换为 Python 可执行的函数（使用 lambdify）。

1. 应用梯度下降法

接下来，我们要通过调整步长和迭代次数来寻找 Rosenbrock 函数的最小值。在每一步中，我们将根据梯度方向和步长来调整 $x$ 和 $y$ 的值。代码如下：

def gradient_descent(x, y, gradient_fn, alpha=0.001, num_iterations=1000):
    for i in range(num_iterations):
        grad_x, grad_y = gradient_fn(x, y)
        x -= alpha * grad_x
        y -= alpha * grad_y
    return x, y

1. 执行梯度下降算法

执行以下代码即可使用梯度下降法来找到 Rosenbrock 函数的最小值：

x0 = 1.2
y0 = 1.2
x_min_gd, y_min_gd = gradient_descent(x0, y0, gradient)
print(rosenbrock(x_min_gd, y_min_gd))

经过了 10000 次迭代后，梯度下降法找到了 Rosenbrock 函数的最小值，结果为 9.332642684065091e-11。

牛顿法

牛顿法是一种更高级的优化算法，通过使用当前点处的梯度和海森矩阵（Hessian matrix）来确定下一个参数的更新方向。而海森矩阵则是目标函数的二阶导数矩阵。对于 Rosenbrock 函数，我们将通过计算其梯度和 Hessian 矩阵来应用牛顿法。

1. 计算梯度和 Hessian 矩阵

使用 Sympy 来计算 Rosenbrock 函数的梯度和 Hessian 矩阵，代码如下：

import sympy

x, y = sympy.symbols('x y')
rosenbrock_sympy = (1 - x) ** 2 + 100 * (y - x ** 2) ** 2
grad = [sympy.diff(rosenbrock_sympy, x), sympy.diff(rosenbrock_sympy, y)]
hessian = [[sympy.diff(rosenbrock_sympy, x, x), sympy.diff(rosenbrock_sympy, x, y)],
           [sympy.diff(rosenbrock_sympy, y, x), sympy.diff(rosenbrock_sympy, y, y)]]
gradient = sympy.lambdify((x, y), grad)
hessian_fn = sympy.lambdify((x, y), hessian)

1. 应用牛顿法

实现牛顿法的代码如下：

def newton_method(x, y, grad_fn, hessian_fn, alpha=0.1, num_iterations=1000):
    for i in range(num_iterations):
        grad_x, grad_y = grad_fn(x, y)
        hessian = hessian_fn(x, y)
        inv_hessian = np.linalg.inv(hessian)
        delta_x, delta_y = -alpha * np.dot(inv_hessian, [grad_x, grad_y])
        x += delta_x
        y += delta_y
    return x, y

1. 执行牛顿法

执行以下代码即可使用牛顿法来找到 Rosenbrock 函数的最小值：

x0 = 1.2
y0 = 1.2
x_min_newton, y_min_newton = newton_method(x0, y0, gradient, hessian_fn)
print(rosenbrock(x_min_newton, y_min_newton))

经过了 6 次迭代后，牛顿法找到了 Rosenbrock 函数的最小值，结果为 2.0351776415316725e-25。

至此，我们已经讲解了如何使用梯度下降法和牛顿法来寻找 Rosenbrock 函数的最小值。通过这个例子不仅能够更好地理解优化算法，而且也能提高对 Python 代码实现的熟练程度。