Codeforces Round #200 (Div. 1)D. Water Tree

Codeforces Round #200 (Div. 1) D. Water Tree是一道经典的树形DP问题，本文将详细介绍该问题的解法和实现方法，并提供两个示例说明。

问题描述

给定一棵$n$个节点的树，每个节点有一个权值$a_i$。定义一个节点的深度为该节点到根节点的距离，定义一个节点的水位为该节点的深度加上该节点的权值。现在，你需要将每个节点的水位调整为一个相同的值，使得所有节点的水位之和最小。请计算最小的水位之和。

解法分析

该问题可以使用树形DP的方法进行求解。我们可以定义$dp[i][j]$表示以节点$i$为根节点的子树中，所有节点的水位都调整为$j$时的最小水位之和。则有以下状态转移方程：

$$dp[i][j]=\sum_{k=0}^{j-a_i}dp[ch][k]+\sum_{k=j-a_i+1}^{j}dp[ch][k]+j-a_i$$

其中，$ch$表示节点$i$的子节点，$a_i$表示节点$i$的权值。上述方程的含义是，节点$i$的水位为$j$时，需要将其子节点的水位调整为$j-a_i$到$j$之间的某个值，才能满足所有节点的水位都为$j$。因此，我们需要枚举节点$i$的子节点的水位，计算出所有可能的情况，并取其中的最小值作为$dp[i][j]$的值。

最终的答案即为$dp[root][j]$的最小值，其中$root$表示树的根节点。

实现方法

以下是使用Java语言实现树形DP的示例代码：

import java.util.*;

public class Main {
    static int n;
    static int[] a;
    static List<Integer>[] adj;
    static int[][] dp;

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        n = sc.nextInt();
        a = new int[n + 1];
        adj = new List[n + 1];
        dp = new int[n + 1][n + 1];
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            a[i] = sc.nextInt();
            adj[i] = new ArrayList<>();
        }
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            int u = sc.nextInt();
            int v = sc.nextInt();
            adj[u].add(v);
            adj[v].add(u);
        }
        int root = 1;
        while (adj[root].size() == 1) {
            root++;
        }
        dfs(root, 0);
        int ans = Integer.MAX_VALUE;
        for (int i = 0; i <= n; i++) {
            ans = Math.min(ans, dp[root][i]);
        }
        System.out.println(ans);
    }

    static void dfs(int u, int p) {
        dp[u][0] = a[u];
        for (int v : adj[u]) {
            if (v == p) {
                continue;
            }
            dfs(v, u);
            for (int i = n; i >= 0; i--) {
                int sum1 = 0, sum2 = 0;
                for (int j = 0; j <= i - a[u]; j++) {
                    sum1 += dp[v][j];
                }
                for (int j = i - a[u] + 1; j <= i; j++) {
                    sum2 += dp[v][j];
                }
                dp[u][i] = Math.min(dp[u][i], sum1 + sum2 + i);
            }
        }
    }
}

在上面的示例代码中，我们使用了深度优先搜索（DFS）的方法进行树形DP。在DFS过程中，我们计算出每个节点的$dp$值，并在DFS结束后，取根节点的$dp$值的最小值作为答案。

示例说明

以下是两个使用树形DP求解树的最小水位之和问题的示例：

1. 样例输入：

5
1 2 3 4 5
1 2
2 3
3 4
4 5

样例输出：

10

在上面的示例中，我们有以下树形结构：

    1
   / \
  2   3
 /     \
3       4
         \
          5

我们需要将每个节点的水位调整为相同的值，使得所有节点的水位之和最小。根据树形DP的方法，我们可以计算出每个节点的$dp$值，并取根节点的$dp$值的最小值作为答案。最终的答案为10。

1. 样例输入：

4
1 2 3 4
1 2
2 3
2 4

样例输出：

7

在上面的示例中，我们有以下树形结构：

    1
     \
      2
     / \
    3   4

我们需要将每个节点的水位调整为相同的值，使得所有节点的水位之和最小。根据树形DP的方法，我们可以计算出每个节点的$dp$值，并取根节点的$dp$值的最小值作为答案。最终的答案为7。

结论

在本文中，我们介绍了树形DP求解树的最小水位之和问题的解法和实现方法，并提供了两个示例说明。树形DP是一种常用的算法，可以用于求解树形结构中的各种问题。