《机器学习》（西瓜书）笔记（3）-线性模型

《机器学习》（西瓜书）笔记（3）–线性模型

2023年4月11日上午3:18 • 机器学习

第三章线性模型

3.1 基本形式

线性模型（linear model）试图学得一个通过属性的线性组合来进行预测的函数，即

一般用向量形式写成

，其中

w 和 b 学得之后，模型就得以确定。

3.2 线性回归

对离散属性的处理：

若属性值间存在序关系，可通过连续化将其转化为连续值，例如二值属性“身高”的取值“高”“矮”可转化为 {1.0, 0.0}；
若属性值间不存在序关系，假定有 k 个属性值，则通常转化为 k 维向量。

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均方差误差最小

基于均方误差最小化来进行模型求解的方法称为最小二乘法（least square method）。

线性回归模型的最小二乘参数估计：指求解 w 和 b 使 E(w, b) = ∑(y_i - wx_i - b)² 最小化的过程。

对数线性回归（log-linear regression）：

广义线性模型：考虑单调可微函数g，令

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这样得到的模型称为广义线性模型（generalized linear model），函数 g 称为联系函数（link function）。

3.3 对数几率回归

分类任务如何处理？

对数几率函数（logistic function）：

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几率：若将 y 看做样本 x 为正例的可能性，则 1-y 为样本 x 为反例的可能性，这两者的比例称为几率。

对数几率：将上述几率取对数。

对数几率回归：(**)式实际上是用线性回归模型的预测结果去逼近真实标记的对数几率，因此，其对应的模型称为对数几率回归（logistic regression）。

它是一种分类学习方法。

对数几率回归的优点：

它直接对分类可能性进行建模，无需事先假设数据分布，避免了假设分布不准确所带来的问题。
它不仅预测出类别，还得到近似概率预测，对许多需利用概率辅助决策的任务很有用。
对率函数是任意阶可导的凸函数，有很好的数学性质，现有的许多数值优化算法都可直接用于求取最优解。

如何确定(**)式中的 w 和 b？

3.4 线性判别分析

线性判别分析（Linear Discriminant Analysis，简称LDA）的思想：

给定训练样例集，设法将样例投影到一条直线上，使得同类样例的投影尽可能接近，异类样例的投影尽可能远离。在对新样本进行分类时，将其投影到同样的这条直线上，再根据投影点的位置来去顶新样本的类别。

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3.5 多分类问题

多分类问题的基本思路是拆解法，即将多分类的任务拆为若干个二分类任务求解。

最经典的拆分策略有三种：一对一（One vs. One，简称OvO），一对其余（One vs. Rest，简称OvR）和多对多（Many vs. Many，简称MvM）。

考虑 N 个类别C₁,C₂,...,C_N,

给定数据集 D = {(x₁,y₁),(x₂,y₂),...,(x_m,y_m)}, y_i ∈ {C₁,C₂,...,C_N}

OvO将这 N 个类别两两配对，从而产生 N(N-1)/2 个二分类任务。

OvR是每次将一个类的样例作为正例、所有其他类的样例作为反例来训练 N 个分类器。

MvM是每次将若干个类作为正类，若干个其他类作为反类。MvM的正、反类构造必须有特殊的设计，不能随意选取。最常见的MvM技术为纠错输出码（Error Correcting Output Codes, 简称ECOC）。

纠错：在测试阶段，ECOC编码对分类的错误有一定的容忍和修正能力。

一般来说，对同一个学习任务，ECOC编码越长，纠错能力越强。
对同等长度的编码，理论上来说，任意两个类别之间的编码距离越远，则纠错能力越强。

3.6 类别不平衡问题

前面几个分类学习方法都有一个共同的假设：不同类别的训练样例数目相同。

类别不平衡（class-imbalance）：指分类任务中不同类别的训练样例数目差别很大的情况。

以线性分类器为例，在用 y = w^Tx + b对新样本 x 进行分类时，实际上是在用预测出的 y 值与一个阈值进行比较，大于阈值时为正例，反之则为反例。

1. 正、反例数目相同时的阈值是0.5，即

2. 正、反例数目不同时的阈值是 m⁺ / (m⁺ + m^-)，即

m⁺表示正例数目，m^-表示返利数目。

这就是类别不平衡学习的一个基本策略——再缩放（rescaling）。

当“训练集是真实样本总体的无偏采样”这个假设不成立时，有以下方法：

方法	欠采样（undersampling）	过采样（oversampling）	阈值移动（threshold-moving）
详情	去除一些反例使得正、反例数目接近，然后进行学习	增加一些正例使得正、反例数目接近，然后再进行学习	直接基于原始训练集进行学习，但在用训练好的分类器进行预测时，将再缩放的公式嵌入到决策过程中
注	1. 时间开销较小 2. 不能随机丢弃反例，可能丢失重要信息。 3. 代表算法EasyEnsemble	1.不能简单的对初始正例样本进行重复采样，否则会招致严重的过拟合。 2. 代表算法SMOTE	再缩放也是代价敏感学习的基础。