C++基本算法思想之递推算法思想

什么是递推算法

递推算法又称为递归算法，是常用于求解问题的一种算法思想。它通过求出问题的一个基本情况，然后通过逐步迭代、递推，从而得到问题的一个规模更大的解。通俗的说，就是将一个大问题分解成多个相对较小的问题，通过依次解决每个小问题最终得到大问题的解。

如何实现递推算法

递推算法可以通过编写递归代码进行实现，也可以通过循环实现。

递归实现

递归实现递推算法，主要思路是将问题不断缩小，直到达到基本情况。这个过程可以通过函数的不断调用来实现，递归函数需要满足终止条件和递归式两个条件。

终止条件用于满足问题的基本情况，递归式用于将问题逐步转化为子问题。具体实现方式可以参考如下的斐波那契数列代码：

int fibonacci(int n){
    if(n == 0) return 0;
    if(n == 1) return 1;
    return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2);
}

以上代码实现了斐波那契数列的递推算法，其中终止条件是n=0或n=1，而递归式可以通过n-1和n-2实现缩小问题规模的递推。

循环实现

递推算法可以通过循环实现，主要思路是通过循环语句来依次计算问题的子问题。循环实现的递推算法更为常用，因为相对于递归实现，循环实现更为简单、直观。

例如，下面代码实现了斐波那契数列的递推算法：

int fibonacci(int n){
    if(n == 0) return 0;
    if(n == 1) return 1;
    int f0 = 0, f1 = 1, f2 = 0;
    for(int i=2; i<=n; i++){
        f2 = f0 + f1;
        f0 = f1;
        f1 = f2;
    }
    return f2;
}

以上代码通过一个循环从2到n，依次计算斐波那契数列的每一项，最后返回斐波那契数列的第n项。从代码中可以看出，比起递归实现，循环实现更为直观，效率更高。

递推算法的应用

递推算法在计算机科学中应用很广泛，常见的应用场景包括但不限于以下几类：

• 搜索算法
• 动态规划算法
• 转移概率计算
• 组合问题的计数
• 生成函数求解问题

总之，递推算法是一种比较基础、常见的算法思想，广泛应用于计算机科学的各个领域。

示例说明

斐波那契数列

斐波那契数列，定义如下：

• f(0) = 0
• f(1) = 1
• f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n >= 2)

斐波那契数列是一个非常经典的递推算法例子，可以采用递归方法和循环方法求解。递归方法可以看作是暴力枚举法，时间复杂度为O(2^n)，循环方法时间复杂度为O(n)，效率更高。

递归方法代码如下：

int fib(int n){
    if(n == 0) return 0;
    if(n == 1) return 1;
    return fib(n-1) + fib(n-2);
}

int main(){
    int n;
    scanf("%d", &n);
    printf("%d\n", fib(n));
    return 0;
}

循环方法实现如下：

int fib(int n){
    if(n == 0) return 0;
    if(n == 1) return 1;
    int a = 0, b = 1;
    for(int i = 2; i <= n; i++){
        int c = a + b;
        a = b;
        b = c;
    }
    return b;
}

int main(){
    int n;
    scanf("%d", &n);
    printf("%d\n", fib(n));
    return 0;
}

阶乘问题

阶乘问题，定义如下：

• 0! = 1
• n! = n * (n-1)! (n >= 1)

虽然阶乘问题可以通过递归方法来处理，但是这种处理方式会出现堆栈溢出的问题，因为每次递归都需要额外开辟栈空间。因此，在实际应用中，循环方法更为常见和稳健。

循环方法代码如下：

int factorial(int n){
    if(n==0) return 1;
    int fact = 1;
    for(int i=1; i<=n; i++){
        fact *= i;
    }
    return fact;
}

int main(){
    int n;
    scanf("%d", &n);
    printf("%d\n", factorial(n));
    return 0;
}

当然，以上的代码都不是最优的，针对不同的具体问题，需要使用不同的具体算法实现来达到更优的时间复杂度和空间复杂度。