C++算法学习之贪心算法的应用

算法简介

贪心算法是一种算法思想，指的是在求解问题时，总是做出当前看来最优的选择，也就是说在每一步中都选择最优解，最终得到全局最优解。

贪心算法的优点在于其简单易懂、运行效率高等特点。但是，由于贪心算法对于求解问题的约束条件和目标函数的要求过高，导致其只能解决部分问题，无法求解所有NP问题。一般情况下，合理的贪心策略是求解问题的保证，而贪心算法是解决相应问题的思想提炼。

应用示例：路灯问题

问题描述：假设有一个长度为N的道路需要安装路灯，每盏路灯的覆盖范围是恒定的，假设为C。那么如何最小化需要安装的路灯数量。

为了解决这个问题，我们可以选择贪心方案：

1. 从道路的起点（左端点）开始，计算出第一盏路灯需要放置的位置，直到覆盖范围达到最远距离C，并在该点放置路灯
2. 继续往后遍历道路，若下一个路灯的安装位置仍在前一盏路灯的覆盖范围内（即直至下一盏路灯的安装位置距离第一盏路灯的安装位置大于C），则不需要再安装路灯
3. 如果下一个路灯的安装位置超出了前一盏路灯的覆盖范围，那么在前一盏路灯的安装位置后C的距离上安装一盏路灯，并更新“覆盖范围达到最远距离C”的概念

求解算法如下：

// 解决路灯问题的贪心算法
// 参数：road：道路的数组，N：道路的长度，C：路灯的覆盖范围
int solve(int *road, int N, int C) {
    int i = 0;
    int count = 0;
    while (i < N) {
        count++;
        int j = i + 1;
        while (j < N && road[j] - road[i] <= C) {
            j++;
        }
        i = j - 1;
        j = i + 1;
    }
    return count;
}

应用示例：货仓选址问题

问题描述：假设有N个货仓位于一条水平线上，如何选择一个位置作为卸货点，以便于从卸货点到每个货仓的距离和最小。

为了解决这个问题，我们可以选择贪心方案：

1. 为了计算选择某个位置后到每个货仓的距离和，需要先将所有货仓的地址从小到大排序，假设为P1, P2, ..., PN
2. 如果要选择的卸货点在P1和P2之间，那么到P1的距离和到P2的距离和是相等的，因为两个距离和的共同部分是一条直线
3. 如果从P1到P2之间选择的卸货点不是P1到P2的中点，那么所得到的结果必然不优于选择P1到P2的中点作为卸货点。根据这个贪心的思想，可以选择使用P1到P2的中点作为卸货点，并继续将问题缩小
4. 重复上述步骤，只需要计算出每相邻两个货仓之间的中点，并在它们之间选择卸货点，即可得到全局最优解

求解算法如下：

// 解决货仓选址问题的贪心算法
// 参数：warehouses：货仓的数组，N：货仓数量
int solve(int *warehouses, int N) {
    std::sort(warehouses, warehouses + N);
    int mid = (N - 1) / 2;
    int sum = 0;
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        sum += std::abs(warehouses[i] - warehouses[mid]);
    }
    return sum;
}

总结

贪心算法是一种算法思想，适用于一些问题，能较快的得出近似最优的解，但是由于它只依赖于当前状态，可能存在得到次优解的情况。我们还需要考虑问题的特性来分析是否能够使用贪心算法得到全局最优解。