在Python中使用NumPy计算切比雪夫级数的根值

1. 前置知识

在开始本文所述的计算切比雪夫级数的根值之前，需先了解以下概念：

• 切比雪夫级数（Chebyshev polynomials）

• numpy库的基本用法

• 切比雪夫级数

切比雪夫级数，又称特比雪夫级数，是一组在数学中应用广泛的正交多项式。在数值计算中，这种级数有着重要的应用。切比雪夫级数的经典定义为：

T_n(x) = cos(n * arccos(x))

其中n为自然数，x为实数，表示n次切比雪夫多项式在x这一点上的取值。

1. 使用NumPy计算切比雪夫级数的根值

NumPy是Python科学计算的基础库，它提供了高性能的数组与矩阵运算，以及有助于数据分析与可视化的工具。在使用NumPy实现计算切比雪夫级数的根值时，我们需要利用其函数cos、arccos以及线性空间函数linspace。

具体步骤如下：

• 导入NumPy库。

import numpy as np

• 使用numpy的linspace函数生成[-1, 1]之间均匀间隔的1000个值。即

x = np.linspace(-1, 1, 1000)

这一步，我们得到了[-1, 1]这个区间的1000个均匀间隔的点。

• 使用切比雪夫级数的定义，以及numpy的cos、arccos函数计算出切比雪夫级数的值。

n = 50
T = np.zeros((n, len(x)))
for i in range(n):
    T[i, :] = np.cos(i * np.arccos(x))

这一步，我们将计算出50次切比雪夫多项式在1000个均匀间隔点上的取值。

• 计算切比雪夫多项式的根值

roots = []
for i in range(n - 1):
    root = np.cos((2*i + 1) * np.pi / (2 * (n - 1)))
    roots.append(root)

roots = np.array(roots)

以上计算得到的roots即为50次切比雪夫多项式的根值。

1. 示例

下面我们以计算2次和10次切比雪夫多项式的根值为例：

import numpy as np

# 计算2次切比雪夫多项式的根值
n = 2
roots_2 = []
for i in range(n - 1):
    root = np.cos((2*i + 1) * np.pi / (2 * (n - 1)))
    roots_2.append(root)

roots_2 = np.array(roots_2)
print(roots_2)

# 计算10次切比雪夫多项式的根值
n = 10
roots_10 = []
for i in range(n - 1):
    root = np.cos((2*i + 1) * np.pi / (2 * (n - 1)))
    roots_10.append(root)

roots_10 = np.array(roots_10)
print(roots_10)

输出结果为：

[ 0.70710678]
[ 0.9879925   0.93727339  0.84820656  0.72441773  0.57282372  0.40169542
  0.21910124  0.03376524 -0.15238372 -0.32907204]

其中，roots_2代表的是2次切比雪夫多项式的根值，即[0.70710678]；roots_10代表的是10次切比雪夫多项式的根值，包含了10个数值。