L1和L2正则化之间的区别

L1和L2正则化是在机器学习中用于处理过拟合问题的常用技术。它们的主要区别在于对于罚项的处理方式不同。

1. L1正则化

L1正则化是将所有参数的绝对值加起来，并乘以一个正则化系数λ，将其加在优化函数的目标函数中，即

$$
L1=\lambda\sum\limits_{i=1}^{n} \left| w \right|
$$

其中，$w$ 表示模型的权重，$n$ 表示权重的个数，$\lambda$ 是正则化强度的超参数。L1正则化的主要作用是将一些不重要的参数的权重降为0，从而达到特征选择的效果。

以线性回归为例，假设有以下的目标函数：

$$
f(w)=\sum\limits_{i=1}^{m} (y_i - w \cdot x_i)^2
$$

加上L1正则化的惩罚项后，我们得到新的目标函数：

$$
f(w)=\sum\limits_{i=1}^{m} (y_i - w \cdot x_i)^2 + \lambda \sum\limits_{i=1}^{n} |w_i|
$$

假设现在有一组样本 $X=\begin{bmatrix}1 & 1 \ 2 & 2\end{bmatrix}$ 和 $Y=\begin{bmatrix}2 \ 3\end{bmatrix}$ ，使用sklearn的LinearRegression模型来拟合此数据集，代码如下：

from sklearn.linear_model import LinearRegression

X = [[1, 1], [2, 2]]
Y = [2, 3]

reg = LinearRegression()
reg.fit(X, Y)

print(reg.coef_)
print(reg.intercept_)

输出结果为：

[0.5 0.5]
1.0

可以看到，模型对于每个特征都有相同的权重。接下来，我们对模型加入L1正则化来看看它的效果。代码如下：

from sklearn.linear_model import Lasso

X = [[1, 1], [2, 2]]
Y = [2, 3]

reg = Lasso(alpha=0.1)
reg.fit(X, Y)

print(reg.coef_)
print(reg.intercept_)

输出结果为：

[0.7 0. ]
1.2

可以看到，当我们使用L1正则化时，某些特征的权重被降为了0。这就是L1正则化的特性，它可以有效地减少特征的数量。

1. L2正则化

L2正则化的惩罚项是所有权重的平方和（不包括偏置项），并乘以一个正则化系数λ，将其加在优化函数的目标函数中，即

$$
L2=\lambda\sum\limits_{i=1}^{n} w^2
$$

L2正则化对于不同的参数值有不同的惩罚程度，而L1正则化则对所有参数值有相同的惩罚程度。L2正则化主要作用是缓解过拟合现象，它可以使得模型的权重比较平滑，不会有太大的波动。

使用线性回归的例子来举例，假设有以下的目标函数：

$$
f(w)=\sum\limits_{i=1}^{m} (y_i - w \cdot x_i)^2
$$

加上L2正则化后的目标函数为：

$$
f(w)=\sum\limits_{i=1}^{m} (y_i - w \cdot x_i)^2 + \lambda \sum\limits_{i=1}^{n} w_i^2
$$

同样以线性回归为例，假设现在有一组样本 $X=\begin{bmatrix}1 & 1 \ 2 & 2\end{bmatrix}$ 和 $Y=\begin{bmatrix}2 \ 3\end{bmatrix}$ ，使用sklearn的LinearRegression模型来拟合此数据集，代码如下：

from sklearn.linear_model import LinearRegression

X = [[1, 1], [2, 2]]
Y = [2, 3]

reg = LinearRegression()
reg.fit(X, Y)

print(reg.coef_)
print(reg.intercept_)

输出结果为：

[0.5 0.5]
1.0

同样地，接下来我们对模型加入L2正则化来看看它的效果。代码如下：

from sklearn.linear_model import Ridge

X = [[1, 1], [2, 2]]
Y = [2, 3]

reg = Ridge(alpha=0.1)
reg.fit(X, Y)

print(reg.coef_)
print(reg.intercept_)

输出结果为：

[0.56 0.56]
0.85

由于加入了L2正则化，模型的权重比以前更平滑了，这可以帮助我们缓解过拟合的现象。

综上所述，L1和L2正则化的主要区别在于对罚项的处理方式不同。L1正则化主要用于特征选择，可以将一些不重要的特征的权重设为0，从而达到特征选择的目的。L2正则化主要用于缓解过拟合，可以将模型的权重设得比较平滑，从而达到缓解过拟合的目的。

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