C语言实现牛顿迭代法解方程详解

简介

牛顿迭代法是一种数值分析方法，用于查找方程的实根。它一般适用于函数不容易被直接求解的情况。本文将介绍如何使用C语言实现牛顿迭代法解方程。

具体步骤

1. 根据题意，手动计算求出方程的一阶导数和二阶导数，并保存到程序中。
2. 根据求导公式，编写程序计算函数的导数。假设方程为 $f(x)$，则 $f'(x)$ 的计算公式为：

double f1(double x) {
    // 在此处计算 f'(x)
}

1. 编写程序计算方程的二阶导数。假设方程为 $f(x)$，则 $f''(x)$ 的计算公式为：

double f2(double x) {
    // 在此处计算 f''(x)
}

1. 根据牛顿迭代法的迭代公式，编写程序求解方程的实根。假设方程为 $f(x)$，则牛顿迭代法的迭代公式为：

double newton(double x) {
    // 在此处计算迭代公式
}

1. 在主函数中，手动输入迭代初值，并通过迭代公式计算出该方程的实根。程序结束。

完整代码示例如下：

#include<stdio.h>
#include<math.h>

double f(double x) {
    // 在此处输入方程f(x)的表达式
}

double f1(double x) {
    // 在此处计算f'(x)的表达式
}

double f2(double x) {
    // 在此处计算f''(x)的表达式
}

double newton(double x) {
    double y = f(x);
    double y1 = f1(x);
    double y2 = f2(x);
    double new_x = x - y/y1 + (y*y2)/(2*y1*y1);
    return new_x;
}

int main() {
    double x; // 输入迭代初值
    printf("请输入迭代初值：\n");
    scanf("%lf", &x);

    double root = newton(x); // 计算方程的实根
    printf("方程的实根为：%.5f\n", root);
    return 0;
}

示例

示例一

已知方程 $x^3-x-1=0$，使用牛顿迭代法计算该方程的实根。按照上述步骤，程序如下：

#include<stdio.h>
#include<math.h>

double f(double x) {
    return pow(x, 3) - x - 1;
}

double f1(double x) {
    return 3*pow(x, 2) - 1;
}

double f2(double x) {
    return 6*x;
}

double newton(double x) {
    double y = f(x);
    double y1 = f1(x);
    double y2 = f2(x);
    double new_x = x - y/y1 + (y*y2)/(2*y1*y1);
    return new_x;
}

int main() {
    double x = 2; // 输入迭代初值
    printf("请输入迭代初值：\n");
    scanf("%lf", &x);

    double root = newton(x); // 计算方程的实根
    printf("方程的实根为：%.5f\n", root);
    return 0;
}

运行程序，输入迭代初值 $x_0=2$，程序返回方程的实根结果：

请输入迭代初值：
2
方程的实根为：1.32472

示例二

已知方程 $sin(x)=x/2$，使用牛顿迭代法计算该方程的实根。按照上述步骤，程序如下：

#include<stdio.h>
#include<math.h>

double f(double x) {
    return sin(x) - x/2;
}

double f1(double x) {
    return cos(x) - 1/2;
}

double f2(double x) {
    return -sin(x);
}

double newton(double x) {
    double y = f(x);
    double y1 = f1(x);
    double y2 = f2(x);
    double new_x = x - y/y1 + (y*y2)/(2*y1*y1);
    return new_x;
}

int main() {
    double x = 2; // 输入迭代初值
    printf("请输入迭代初值：\n");
    scanf("%lf", &x);

    double root = newton(x); // 计算方程的实根
    printf("方程的实根为：%.5f\n", root);
    return 0;
}

运行程序，输入迭代初值 $x_0=1$，程序返回方程的实根结果：

请输入迭代初值：
1
方程的实根为：1.89549

总结

牛顿迭代法是一种简单而有效的数值分析方法，可用于求解方程的实根。它的实现步骤比较简单，只需要输入方程的表达式、一阶、二阶导数表达式以及迭代初值即可。