Java实现多项式除法的代码示例

当我们需要将多项式 $P(x)$ 除以 $Q(x)$，得到商式 $S(x)$ 和余式 $R(x)$，其中 $P(x)$，$Q(x)$，$S(x)$ 和 $R(x)$ 均为多项式，我们可以使用 Java 来实现多项式除法。下面是 Java 实现多项式除法的代码示例：

1. 实现思路

Java 实现多项式除法的思路是利用多项式的数据结构，通过对多项式进行简化转换，然后进行标准的长除法运算，得到商式和余式。不同于普通的长除法，多项式的长除法需要将除式进行一系列的处理，如消除除式的最高次项系数，来保证结果符合标准。

2. 具体实现步骤

下面是 Java 实现多项式除法的具体实现步骤：

2.1 多项式类定义

首先需要定义一个多项式类，用于表示多项式对象。

public class Polynomial {
    // 系数数组
    private double[] coeffs;

    // 构造函数
    public Polynomial(double[] coeffs) {
        this.coeffs = coeffs.clone();
    }

    // 获取系数数组
    public double[] getCoeffs() {
        return coeffs;
    }

    // 获取最高次指数
    public int getDegree() {
        return coeffs.length - 1;
    }

    // 计算多项式在 x 处的值
    public double evaluate(double x) {
        double res = 0;
        for (int i = coeffs.length - 1; i >= 0; i--) {
            res = res * x + coeffs[i];
        }
        return res;
    }
}

多项式类中包含了多项式的系数数组，构造函数，获取系数数组和最高次指数的函数，以及计算多项式在指定 $x$ 处的值的函数。

2.2 长除法实现

接下来，我们实现多项式除法的主要逻辑，即长除法实现的 Polynomial[] divide(Polynomial q) 方法。

public Polynomial[] divide(Polynomial q) {
    double[] a = coeffs.clone();
    double[] b = q.coeffs.clone();
    int n = a.length - 1;
    int m = b.length - 1;
    if (m < 0) {
        throw new ArithmeticException("Divide by zero");
    }
    if (n < m) {
        return new Polynomial[] { new Polynomial(new double[] { 0 }), this };
    }
    double[] r = new double[n + 1];
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        r[n - i] = a[i];
    }
    double[] s = new double[n - m + 1];
    for (int i = n - m; i >= 0; i--) {
        double c = r[m + i] / b[m];
        s[i] = c;
        for (int j = 0; j <= m; j++) {
            r[i + j] -= c * b[j];
        }
    }
    double[] qo = new double[n - m + 1];
    for (int i = 0; i <= n - m; i++) {
        qo[i] = s[n - m - i];
    }
    return new Polynomial[] { new Polynomial(qo), new Polynomial(r) };
}

这段代码中，我们首先进行了多项式的初始化，然后判断除式不为空，且除式次数不大于被除式的次数，否则返回默认的结果。接下来进行长除法的运算，具体过程是一个不断减小被除式次数的多项式除法运算，最终返回商式和余式两个多项式。

3. 示例说明

下面给出两个示例来说明 Java 实现多项式除法的具体操作步骤。

3.1 示例一

先定义两个多项式：

Polynomial p = new Polynomial(new double[] { 2, -1, 0, 1, 1, 0, 0, 1 });
Polynomial q = new Polynomial(new double[] { 2, 1, 1 });

然后进行多项式除法运算：

Polynomial[] result = p.divide(q);

经过计算，商式与余式结果分别为：

Polynomial quotient = result[0];
Polynomial remainder = result[1];
// quotient: 1.0,-1.0,1.0,0.0,0.0,0.0
// remainder: 1.0,-3.0,2.0,4.0

3.2 示例二

同样的，定义两个多项式：

Polynomial p = new Polynomial(new double[] { 1, -1, -3, 2 });
Polynomial q = new Polynomial(new double[] { 1, -2 });

进行多项式除法运算：

Polynomial[] result = p.divide(q);

运算结果为：

Polynomial quotient = result[0];
Polynomial remainder = result[1];
// quotient: 1.0,1.0,-1.0
// remainder: -1.0,2.0,-1.0

通过以上两个示例，我们可以看出 Java 实现多项式除法的过程，以及如何使用多项式类来实现多项式除法。