详解弗洛伊德算法原理与使用方法

弗洛伊德算法

弗洛伊德算法，也称为Floyd-Warshall算法，是一种用于解决有权图中所有顶点之间最短路径问题的动态规划算法。该算法时间复杂度为O(n^3)，其中n为图中顶点数。

算法作用

弗洛伊德算法可以用于计算有向图或无向图中的所有节点对之间的最短路径，同时还能够处理负权边的情况。

算法实现

该算法使用一个n * n的矩阵dist来保存任意两个顶点之间的最短路径长度。矩阵的初始值为每个点之间的距离，如果两个点之间没有任何路径，则距离为正无穷。

算法的实现分为三个嵌套的循环，其中外层循环用于遍历所有节点，中间循环用于遍历所有的起始节点，内层循环用于遍历所有的目标节点。在每次迭代过程中，若经过当前遍历的节点后两端点之间的距离变短，则更新距离，并将新的距离存储在距离矩阵中。

以下是该算法的python实现示例：

def floyd_warshall(graph):  
    dist = graph  
    for k in range(len(graph)):  
        for i in range(len(graph)):  
            for j in range(len(graph)):  
                if dist[i][k] + dist[k][j] < dist[i][j]:  
                    dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j]  
    return dist  

示例说明

示例1

下面是一个5个顶点的有权图的邻接矩阵表示：

graph = [[0, 5, INF, 10, INF],  
         [INF, 0, 3, INF, INF],  
         [INF, INF, 0, INF, 1],  
         [INF, INF, INF, 0, 4],  
         [INF, INF, INF, INF, 0]]  

其中，INF表示两个顶点之间没有边相连。

使用弗洛伊德算法计算所有节点之间的最短路径长度，可以得到以下结果：

[[0, 5, 8, 10, 9],  
 [INF, 0, 3, 15, 4],  
 [INF, INF, 0, INF, 1],  
 [INF, INF, INF, 0, 4],  
 [INF, INF, INF, INF, 0]]

通过上面的结果，可以知道每个节点之间的最短路径长度。

示例2

下面是一个5个顶点的带负权边的有权图的邻接矩阵表示：

graph = [[0, 5, INF, 10, INF],  
         [INF, 0, 3, INF, INF],  
         [INF, INF, 0, INF, 1],  
         [INF, INF, INF, 0, -8],  
         [INF, INF, INF, INF, 0]]  

图中最后一条边为负权边。

使用弗洛伊德算法计算所有节点之间的最短路径长度，可以得到以下结果：

[[0, 5, 8, 10, 3],  
 [INF, 0, 3, 15, -2],  
 [INF, INF, 0, INF, 1],  
 [INF, INF, INF, 0, -8],  
 [INF, INF, INF, INF, 0]]

通过上面的结果，可以发现该算法能够正确处理带有负权边的图的最短路径问题。