详解01背包问题原理与使用方法

01背包问题详解

问题描述

给定一个背包，其容量为 $C$，现在有 $n$ 个物品，其中第 $i$ 个物品的体积为 $w_i$，价值为 $v_i$。问如何选择物品放入背包中，使得背包中物品的总价值最大。

思路分析

动态规划

这是一个经典的动态规划问题，可以使用动态规划来解决。我们定义 $dp[i][j]$ 表示前 $i$ 个物品中，容量为 $j$ 的背包可获得的最大价值，根据0/1选择性，我们可以得到如下状态转移方程：
$$
\begin{aligned}
dp[i][j] &=\begin{cases}
0, & i=0 \text{or} j=0 \
dp[i-1][j], & j<w_i \
\max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w_i]+v_i), & j \geqslant w_i
\end{cases}
\end{aligned}
$$

最终的答案为：$dp[n][C]$

代码实现

def knapsack(n, C, w, v):
    dp = [[0 for j in range(C+1)] for i in range(n+1)]
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, C+1):
            if j < w[i-1]:
                dp[i][j] = dp[i-1][j]
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i-1]]+v[i-1])
    return dp[n][C]

示例说明

示例一

假如有一个包，它最多只能容纳重量和体积为 $10$ 千克的物品，以下是 $5$ 个物品及它们的重量和其对应的价值。现在希望找到最佳的打包方法使得总价值最大化。

物品	重量	价值
A	2	6
B	2	2
C	3	8
D	4	9
E	5	7

n = 5
C = 10
w = [2, 2, 3, 4, 5]
v = [6, 2, 8, 9, 7]

print(knapsack(n, C, w, v))  # 输出为：20

示例二

我们现在有 $4$ 个物品，其重量和价值分别为：

物品	重量	价值
A	2	2
B	3	4
C	4	5
D	5	8

我们现在有 $10$ 的背包容量。

n = 4
C = 10
w = [2, 3, 4, 5]
v = [2, 4, 5, 8]

print(knapsack(n, C, w, v))  # 输出为：15

在这个示例中，最优的选择方式是选择物品 A、B、C，它们的重量和为 $9$，总价值为 $11$。