SVM解决线性不可分问题

SVM (Support Vector Machine)是一种常用的机器学习算法，主要用于分类问题。在训练过程中，SVM将数据映射到高维空间中，从而将线性不可分问题转化为线性可分问题，然后在高维空间中找到最优的超平面来进行分类。关于 SVM 解决线性不可分问题的完整攻略，可以分为以下几个步骤：

1. 增加特征维度

增加特征维度是将数据从原来的低维空间映射到高维空间的过程。假设数据集中存在两个特征 x1 和 x2：

x1	x2
1	2
3	4
5	6

可以通过增加一些特征如 $x_1^2$ 或 $x_2^2$ 转移到更高的维度：

x1	x2	$x_1^2$	$x_2^2$
1	2	1	4
3	4	9	16
5	6	25	36

这时候，原本线性不可分的数据就有了可能在高维空间中变得线性可分。

2. 寻找最优超平面

在高维空间中，SVM可以根据支持向量（support vector）寻找一个最优的超平面。支持向量是指距离超平面最近的几个点。

这里有一个线性可分的数据集示例：

      +
    +   +
  +       +
+   + + +   +
  +       +
    +   +
      -

其中，加号代表正例，减号代表反例。可以看到，这个数据集是线性可分的，可以通过一条直线将正例和反例分开。这条直线就是分类超平面。

接着，我们将数据从二维空间映射到三维空间，新增一个特征 $x_3=x_1^2+x_2^2$。这个数据集在三维空间中的可视化效果如下：

      +
    +   +
  +       +
+   + + +   +
  +       +         +
    +   +         +
      -    ---    -

可以看到，在三维空间中，正例和反例被一条平面分割开来。这个平面也就是分类超平面。

3. 解决非线性问题

对于非线性问题，可以使用核函数（kernel）将数据映射到高维空间中。核函数是一种特殊的函数，它可以将低维空间中的数据映射到高维空间中，而不需要显示地计算高维空间中的坐标。

这里有一个非线性数据集的示例：

    (o)
 (( ))())
    (()())
  ((()()))
    ())()

这个数据集不像之前的示例那样线性可分。我们可以使用径向基函数（RBF）核函数来实现数据在高维空间中的映射：

$$\phi(\mathbf{x}) = (x_1, x_2, \exp{(-\frac{(x_1-x_2)^2}{2 \sigma^2})})$$

其中，$\sigma$ 是控制模型复杂度和拟合效果的参数，需要根据具体的样本选择合适的值。

将数据集映射到三维空间后，可得到一个线性可分的新数据集，如下：

        (o)
      ( 1,0,1.00 )
(( 0.0,1.0,0.61 ))
      (-1,0,1.00 )
  (( 0.0,-1,0.61 ))
    (0.5,0.5,0.74)

在高维空间中，可以使用之前提到的支持向量来寻找最佳超平面，进行分类。

以上就是 SVM 解决线性不可分问题的完整攻略。