详解动态规划算法原理与使用方法

动态规划算法

什么是动态规划算法？

动态规划是一种算法思想，可以用来解决多阶段决策问题，通常具有以下两个特点：

1. 最优化原理：如果问题的最优解包含子问题的最优解，那么可通过自底向上的方式动态地解决问题。
2. 无后效性：子问题的解一旦确定了，就不会受到在这之后、包含它的更大的问题的求解策略的影响。

动态规划算法使用方法

1. 确定状态：动态规划所涉及到的状态一般具有两个意义：状态集合 和 状态转移方程 中的状态。通常情况下，状态集合比较好确定，而状态转移方程中即表示状态的具体含义。
2. 确定状态转移方程：由状态转移方程可以得到从一个状态到另一个状态的转移方式，这是最难的部分，也是最为核心的部分。
3. 确定初始状态：初始状态一般是最简单最极限的状态，且通常为 0 或 1。

动态规划算法的作用

动态规划可以用来解决一些经典问题，如：

1. 寻找两个字符串的相似度
2. 背包问题
3. 最长公共子序列问题
4. 图最短路径问题
5. 连通性问题

示例说明

示例1：斐波那契数列问题

斐波那契数列问题的状态转移方程为：

f(n) = f(n-1) + f(n-2)

初始状态为 f(0) = 0, f(1) = 1。

代码示例：

def fibonacci(num: int) -> int:
    if num == 0:
        return 0
    if num == 1:
        return 1
    f1, f2 = 0, 1
    for i in range(2, num+1):
        f_i = f1 + f2
        f1 = f2
        f2 = f_i
    return f_i

示例2：背包问题

背包问题的状态转移方程为：

dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]]+v[i])

其中 dp[i][j] 表示前 i 个物品放入容量为 j 的背包能得到的最大价值。初始状态为 dp[0][j] = 0 和 dp[i][0] = 0。

代码示例：

def knapsack(w: List[int], v: List[int], c: int) -> int:
    n = len(w)
    dp = [0] * (c+1)
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(c, w[i-1]-1, -1):
            dp[j] = max(dp[j], dp[j-w[i-1]]+v[i-1])
    return dp[c]

以上两个示例都是典型的动态规划问题，可以看到动态规划算法具有很好的通用性，可以用于解决多种问题。